Kezdőlap


Feladat:	67. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Almási L. , Bacsó N. , Bakó L. , Balázs M. , Balogh J. , Balogh Szabó L. , Bártfai P. , Bauer A. , Beke Éva és Mária , Beleznay F. , Beliczky G. , Benkő B. , Biczó G. , Biszterszky Sára , Boros P. , Csapody G. , Csernyánszky Zita , Csiszár I. , Csomos S. , Deseő Katalin , Dósa I. , Fodor Mária , Forgó G. , Frivaldszky J. , Fuchs T. , Georgi F. , Gulácsy Sára , Gyürki K. , Gödény I. , Hangay Gy. , Ivanyos A. , Kálmán Gy. , Kecskeméti I. , Kertész Á. , Komjátszegi L. , Kovács Gy. Z. , Kovács István , Kovács Klára , Kovács Lajos , Krammer G. , Lábos E. , Lackner Györgyi , Libisch R. , Morelli Klára , Orlik P. , Orosz A. , Orosz Á. , Orosz B. , Pátkai Gy. , Pázmándy Gy. , Pintér L. , Plank P. , Quittner P. , Radnai J. , Rédly Dénes , Reichmann R. , Roboz Ágnes , Rozgonyi E. , Streitmann K. , Szabó I. , Szám F. , Szendrei I. , Szlanka I. , Takács J. , Tanyi T. , Tar Erzsébet , Uray L. , Vajna Zs. , Vértes P. , Világhy T. , Weiling K.
Füzet:	1953/március, 85 - 86. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Nevezetes azonosságok, Szorzat, hatványozás azonosságai, Azonosságok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1952/október: 67. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) A két szögletes zárójelben lévő kifejezés így írható:

\begin{matrix} x^{2} & + (a + b) x + a b = (x + a) (x + b), \\ x (x - a) - b (x - a) = (x - a) (x - b) . \end{matrix}

E két kifejezés

3

-szoros szorzata

\begin{matrix} 3 (x^{2} - a^{2}) (x^{2} - b^{2}) = 3 x^{4} + 3 a^{2} x^{2} - 3 b^{2} x^{2} + 3 a^{2} b^{2}, \end{matrix}

és így a kapcsos zárójelben lévő osztandó

\begin{matrix} 3 a^{2} x^{2} + 3 b^{2} x^{2} - 3 a^{2} b^{2} + 3 x^{4} - 3 a^{2} x^{2} - 3 b^{2} x^{2} + 3 a^{2} b^{2} = 3 x^{4} . \end{matrix}

Tehát a keresett hányados

\begin{matrix} 3 x^{4} : x^{2} = 3 x^{2} . \end{matrix}

b) Mivel

a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})

és

- (b - a) = a - b

, azért

\begin{matrix} \frac{1}{a - b} - \frac{3 a b}{a^{3} - b^{3}} - \frac{b - a}{a^{3} + b + b^{2}} = \frac{a^{2} + a b + b^{2} - 3 a b + {(a - b)}^{2}}{(a - b) (a^{2} + a b + b^{2})} = \\ = \frac{2 a^{2} - 4 a b + 2 b^{2}}{(a - b) (a^{2} + a b + b^{2})} = \frac{2 {(a - b)}^{2}}{(a - b) (a^{3} + a b + b^{2})} = \frac{2 (a - b)}{a^{2} + a b + b^{2}} . \\ c) \frac{a}{(a - 2 b) (a - c)} + \frac{2 b}{(2 b - c) (2 b - a)} + \frac{c}{(c - a) (c - 2 b)} = \\ = \frac{a}{(a - 2 b) (a - c)} - \frac{2 b}{(a - 2 b) (2 b - c)} + \frac{c}{(2 b - c) (a - c)} . \end{matrix}

Ezen összeg bármely két tagjáról kimutatható, hogy egyenlő az ellenkező jellel vett maradék harmadik taggal, feltéve

a \neq c

a \neq 2 b

c \neq 2 b

. Pl. az első két tag:

\begin{matrix} \frac{a}{(a - 2 b) (a - c)} - \frac{2 b}{(a - 2 b) (2 b - c)} = \frac{a (2 b - c) - 2 b (a - c)}{(a - 2 b) (2 b - c) (a - c)} = \\ = \frac{2 a b - a c - 2 a b + 2 b c}{(a - 2 b) (2 b - c) (a - c)} = - \frac{c (a - 2 b)}{(a - 2 b) (2 b - c) (a - c)} = - \frac{c}{(2 b - c) (a - c)}, \end{matrix}

és így kifejezésünk azonosan egyenlő

0

-val.

Rédly Dénes (Pannonhalmi g. II. o. t.)