Feladat: 65. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bártfai P. ,  Beke Éva és Mária ,  Beleznay F. ,  Bonyhárd P. ,  Bp. XVI., Corvin Mátyás g. ,  Csiszár I. ,  Katona P. ,  Nagykanizsa, Irányi Dániel g. ,  Pázmándy Gy. ,  Szerb Márta ,  Szlanka Imre ,  Verdes T. 
Füzet: 1953/március, 83 - 84. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Kombinatorikai leszámolási problémák, Kombinációk, Variációk, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1952/szeptember: 65. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mikor a két embert személy szerint nem különböztetjük meg, akkor pld. 2. és 5. út kiválasztása egyértelmű az 5. és 2. út kiválasztásával. Tehát az a), b), c) esetekben kombinációkkal van dolgunk.
a) A két ember egy-egy felmenetelét az öt elemből alkotott egy-egy másodosztályú kombináció jellemzi. (Nem ismétléses, mert kikötés, hogy egy utat legfeljebb egy ember használhat.) Tehát az összes lehetséges felmenetelek száma C52.
Lefelé, feltételünk értelmében, már csak 3 út áll rendelkezésére. Tehát az összes lehetséges lejövetelek száma C32.
Mivel minden egyes felmenetel C32 számú lejövetellel párosítható, azért az összes lehetséges esetek száma

C52C32=(52)(32)=54123=103=30.

b) A lehetséges felmenetelek száma változatlanul (52). Jelen esetben azonban a lejövetelre is pontosan csak ugyanaz a kikötés érvényes, ami a felmenetelre érvényes volt, t. i., hogy (egy irányban) ugyanazon az úton két ember nem mehet. Tehát az összes lehetséges lejövetelek száma is (52), és így összes lehetséges esetek száma
(52)(52)=1010=100.

c) Ebben az esetben egy úton ketten is mehetnek, tehát ismétléses kombinációkról van szó és mindkét irányban a lehetséges esetek száma ugyanaz: C5i,2 tehát az összes lehetséges esetek száma
(C5i,2)2=(5612)2=152=225.
Mikor személy szerint megkülönböztetjük a két embert, akkor a 2. és 5. út más eset, mint az 5. és 2. út. Tehát a d), e) és f) esetekben variációkkal van dolgunk. A gondolatmenet különben teljesen egyezik az a), b) és c) esetekben követett meggondolásokkal.
Eszerint tehát
d)V52V32=(54)(32)=206=120.
e)V52V52=(54)2=202=400.
f)V5i,2V5i,2=(52)2=252=625.
 

Szlanka Imre (Aszód, Petőfi g. II. o. t.)