Kezdőlap


Feladat:	65. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bártfai P. , Beke Éva és Mária , Beleznay F. , Bonyhárd P. , Bp. XVI., Corvin Mátyás g. , Csiszár I. , Katona P. , Nagykanizsa, Irányi Dániel g. , Pázmándy Gy. , Szerb Márta , Szlanka Imre , Verdes T.
Füzet:	1953/március, 83 - 84. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kombinatorikai leszámolási problémák, Kombinációk, Variációk, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1952/szeptember: 65. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mikor a két embert személy szerint nem különböztetjük meg, akkor pld. 2. és 5. út kiválasztása egyértelmű az 5. és 2. út kiválasztásával. Tehát az a), b), c) esetekben kombinációkkal van dolgunk.
a) A két ember egy-egy felmenetelét az öt elemből alkotott egy-egy másodosztályú kombináció jellemzi. (Nem ismétléses, mert kikötés, hogy egy utat legfeljebb egy ember használhat.) Tehát az összes lehetséges felmenetelek száma $C_{5}^{2}$ .
Lefelé, feltételünk értelmében, már csak 3 út áll rendelkezésére. Tehát az összes lehetséges lejövetelek száma $C_{3}^{2}$ .
Mivel minden egyes felmenetel $C_{3}^{2}$ számú lejövetellel párosítható, azért az összes lehetséges esetek száma

\begin{matrix} C_{5}^{2} \cdot C_{3}^{2} = (\binom{5}{2}) (\binom{3}{2}) = \frac{5 \cdot 4}{1 \cdot 2} \cdot 3 = 10 \cdot 3 = 30. \end{matrix}

b) A lehetséges felmenetelek száma változatlanul

(\binom{5}{2})

. Jelen esetben azonban a lejövetelre is pontosan csak ugyanaz a kikötés érvényes, ami a felmenetelre érvényes volt, t. i., hogy (egy irányban) ugyanazon az úton két ember nem mehet. Tehát az összes lehetséges lejövetelek száma is

(\binom{5}{2})

, és így összes lehetséges esetek száma

\begin{matrix} (\binom{5}{2}) (\binom{5}{2}) = 10 \cdot 10 = 100. \end{matrix}

c) Ebben az esetben egy úton ketten is mehetnek, tehát ismétléses kombinációkról van szó és mindkét irányban a lehetséges esetek száma ugyanaz:

C_{5}^{i,2}

tehát az összes lehetséges esetek száma

\begin{matrix} {(C_{5}^{i,2})}^{2} = {(\frac{5 \cdot 6}{1 \cdot 2})}^{2} = 15^{2} = 225. \end{matrix}

Mikor személy szerint megkülönböztetjük a két embert, akkor a 2. és 5. út más eset, mint az 5. és 2. út. Tehát a d), e) és f) esetekben variációkkal van dolgunk. A gondolatmenet különben teljesen egyezik az a), b) és c) esetekben követett meggondolásokkal.
Eszerint tehát
d)

V_{5}^{2} \cdot V_{3}^{2} = (5 \cdot 4) \cdot (3 \cdot 2) = 20 \cdot 6 = 120

.
e)

V_{5}^{2} \cdot V_{5}^{2} = {(5 \cdot 4)}^{2} = 20^{2} = 400

.
f)

V_{5}^{i,2} \cdot V_{5}^{i,2} = {(5^{2})}^{2} = 25^{2} = 625

Szlanka Imre (Aszód, Petőfi g. II. o. t.)