Feladat: 60. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Almási L. ,  Aujeszky G. ,  Bakó L. ,  Barabás Ildikó ,  Bauer A. ,  Beke Éva és Mária ,  Béres István ,  Biczó G. ,  Bodor J. ,  Bonyhárd P. ,  Boros P. ,  Bp. XVI., Corvin Mátyás g. ,  Bp., XIII., Berzsenyi D. g. ,  Csanády S. ,  Csernyánszky Zita ,  Csiszár I. ,  Deseő Katalin ,  Érsek L. ,  Esztergom, I. István g. ,  Fejes K. ,  Frivaldszky J. ,  Gödény I. ,  Ivanyos A. ,  Kálmán Gy. ,  Katona P. ,  Kertész Á. ,  Komjátszegi L. ,  Kovács István ,  Macskásy A. ,  Pátkai György ,  Pázmándy Gy. ,  Quittner P. ,  Rédly D. ,  Szabó E. ,  Szendrei I. ,  Szepesi J. ,  Takács J. ,  Tanyi T. ,  Tisza Magdolna ,  Ulbrich Z. ,  Verdes T. ,  Vértes P. ,  Weilling K. 
Füzet: 1953/február, 55 - 56. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Oszthatósági feladatok, Tizes alapú számrendszer, Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1952/szeptember: 60. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Egy 3-jegyű szám általános alakja 100a+10b+c, ahol a, b, c egyjegyű számok a 0-t is beleértve. A számjegyeket fordított sorrendbe írva: 100c+10b+a. Látjuk, hogy a=c esetén a két szám egyenlő és így különbségük nulla. Feltételezhetjük tehát, hogy a>c, mely esetben a pozitív különbség 100(a-c)+(c-a). Mivel c-a negatív, azért felbontunk egy százast 9 tízesre és 1 tízesre, hogy számunk 3 nem negatív számjeggyel a 10-es számrendszerbeli számok írása szerint felírható legyen

100(a-c)+(c-a)=100(a-c-1)+10⋅9+(10+c-a),
ahol a-c-1=0 is lehet, amely esetben 10+c-a=10-1=9.
E szám számjegyeit fordított sorrendben írva
100(10+c-a)+10⋅9+(a-c-1)
Ez utóbbi két szám összege
100(10-1)+10⋅18+(10-1)=900+180+9=1089.
Tehát akkor és csakis akkor kapunk eredményül 1089-et, ha az egyesek és százasok helyén álló számjegyek nem egyenlők.
 

Pannonhalmi g. szakköre.

 

II. megoldás. (100a+10b+c)-(100c+10b+a)=99(a-c), ami csak akkor nem nulla, ha a≠c. Legyen a>c. Egy 99-cel osztható 3-jegyű szám középső jegye szükségképpen 9, amint az a 99x=100x-x alakból kitűnik, ahol x egyjegyű számot jelent. (x=1 esetén 099-et tekintjük 3-jegyűnek.) A 9-cel való oszthatóság miatt kell, hogy a két szélső jegy összege is pontosan 9 legyen. Ebből következik a 11-gyel való oszthatóság is (9-9=0). Ha a számjegyek sorrendjét megfordítjuk, vagyis a két szélső jegyet felcseréljük, ez nem érinti a 9-cel és 11-gyel való oszthatóságot. Tehát az új szám is osztható 99-cel és így a két szám összege is 99 többszöröse. Ha a felcserélés előtt a szám értéke 99s volt tehát a százasok helyén s-1 állott), akkor a felcserélés után a százasok helyére 9-(s-1)=(10-s) kerül és így az új szám értéke (11-s)99. A két szám összege tehát: 99s+99(11-s)=11⋅99=1089.
 

Pátkai György (Bp. IX., Fáy András g. II. o. t.)