Kezdőlap


Feladat:	53. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Balatoni F. , Balatoni I. , Beke Éva és Mária , Kovács L. , Lackner Györgyi , Marik M. , Quittner Pál , Schmidt E. , Tomor B. , Vigassy J.
Füzet:	1952/december, 144 - 145. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kombinatorikai leszámolási problémák, Permutációk, Oszthatósági feladatok, Tizes alapú számrendszer, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1952/május: 53. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az adott 8 számjegyből képezhető 8-jegyű számok közül 4-gyel oszthatók azok, amelyeknek két utolsó jegye:

\begin{matrix} 04, 16, 40, 44, 60, 64. \end{matrix}

04-re végződő szám annyi van, ahány permutáció alkotható a megmaradó 6 elemből (1, 1, 1, 4, 4, 6). Ezek száma

\begin{matrix} P_{6}^{2,3} = \frac{6!}{2! 3!} = \frac{4 \cdot 5 \cdot 6}{2} = 60. \end{matrix}

Ugyanannyi a 40-re végződő számok száma is.
Hasonló meggondolással a 60-nal végződő számok száma:

\begin{matrix} P_{6}^{3,3} = \frac{6!}{3! 3!} = 20. \end{matrix}

A 16-tal végződő permutációk száma

P_{6}^{2,3} = 60

,
de e számból ki kell vonni a 0-val kezdődő csoportok számát:

P_{5}^{2,3}

-t.
Tehát a 16-tal végződő számok száma:

60 - \frac{5!}{2! 3!} = 60 - 10 = 50

.
Ugyanennyi nyilván a 64-gyel végződő számok száma is.
Végül 44-gyel

P_{6}^{3}

csoport végződik, melyek közül

P_{5}^{3}

kezdődik 0-val, vagyis 44-gyel végződő számok száma:

\frac{6!}{3!} - \frac{5!}{3!} = 120 - 20 = 100

.
Tehát az adott 8 számjegyből alakítható, 4-gyel osztható, 8-jegyű számok száma:

\begin{matrix} 2 \cdot 60 + 20 + 2 \cdot 50 + 100 = 340. \end{matrix}

Quittner Pál (Bp. I., Petőfi g. I. o. t.)