Kezdőlap


Feladat:	48. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Balatoni F. , Balatoni I. , Beke Éva és Mária , Biczó Géza , Daróczy Attila , Fekete Irén , Gaál I. , Holbok S. , Huszár k. , Kovács L. , Lackner Györgyi , Marik M. , Pátkai Gy. , Quittner P. , Schmidt E. , Sebők J. , Szuromi L. , Tili K. , Tomor B.
Füzet:	1952/december, 141 - 142. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hossz, kerület, Terület, felszín, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül sokszögekben, Szabályos sokszögek geometriája, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1952/május: 48. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Alapul vesszük a szabályos ötszög ismeretes szerkesztését (L. IV. kötet 4‐5. sz. 110. old.). A betűzést az ábra mutatja.

A szabályos ötszög egy oldala

\begin{matrix} a = \sqrt[]{1 + {(e - \frac{1}{2})}^{2}}, \end{matrix}

ahol

\begin{matrix} e = \sqrt[]{1 + {(\frac{1}{2})}^{2}} = \frac{\sqrt[]{5}}{2} . \end{matrix}

Tehát

\begin{matrix} a = \sqrt[]{1 + {(\frac{\sqrt[]{5} - 1}{2})}^{2}} = \sqrt[]{\frac{4 + (5 - 2 \sqrt[]{5} + 1)}{4}} = \sqrt[]{\frac{5 - \sqrt[]{5}}{2}} = \frac{\sqrt[]{10 - 2 \sqrt[]{5}}}{2} (\approx 1, 1755) . \end{matrix}

Egy kör köré írt sokszög területe

\frac{k ϱ}{2}

, ahol

k

a sokszög kerülete és

ϱ

a sokszögbe írt kör sugara. Jelen esetben

\begin{matrix} k = 5 a = 5 \sqrt[]{\frac{5 - \sqrt[]{5}}{2}} és ϱ = \sqrt[]{1 - {(\frac{a}{2})}^{2}} = \sqrt[]{1 - \frac{5 - \sqrt[]{5}}{8}} = \sqrt[]{\frac{3 + \sqrt[]{5}}{8}} . \end{matrix}

Tehát

t = \frac{k}{2} \cdot ϱ = 5 \sqrt[]{\frac{5 - \sqrt[]{5}}{8}} \cdot \sqrt[]{\frac{3 + \sqrt[]{5}}{8}} = \frac{5}{8} \sqrt[]{10 + 2 \sqrt[]{5}} (\approx 2, 378)

Biczó Géza (Bp. II., Rákóczi g. I. o. t.)