Feladat: 46. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Balatoni F. ,  Balatoni I. ,  Bártfai P. ,  Biczó G. ,  Deseő Z. ,  Döbrösy László ,  Fülöp J. ,  Gaál István ,  Grätzer György ,  Holbok S. ,  Kálmán Gy. ,  Lábos E. ,  Lackner Györgyi ,  Ladányi József ,  Marik M. ,  Németh Lehel ,  Quittner P. ,  Roboz Ágnes ,  Schmidt E. ,  Tomor Benedek ,  Vigassy J. 
Füzet: 1952/december, 139 - 140. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Háromszögek hasonlósága, Középpontos tükrözés, Pont körüli forgatás, Derékszögű háromszögek geometriája, Súlyvonal, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1952/május: 46. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Az EFC▵∼ABC▵, mert F∢=B∢=β, mint merőleges szárú szögek. (L. ábrát)

 
 

Az EFC derékszögű háromszög köré írt kör középpontja O az EF átfogó felezőpontja. Bebizonyítjuk, hogy e kör érinti CD-t, vagyis OC⊥DC.
Forgassuk el az ABC▵-et C pont körül 90∘-kal az A'B'C helyzetbe, akkor az előbbiek alapján A'B'C▵ nemcsak hasonló EFC▵-höz, hanem hasonló fekvésű is, vagyis A'B'∥EF és mivel D' felezi A'B'-t, azért CD', a CD-nek 90∘-os elforgatása, átmegy az EF felező pontján O-n, vagyis OC⊥DC. Tehát a DC súlyvonal tényleg érintője a körnek és így mértani középarányos a DE és DF szeletek között, vagyis
DC2=DE⋅DF.

Grätzer György (Bp., V. Berzsenyi g. II. o. t.)
 

II. megoldás: Mivel DC=DB, mint az ABC▵köré írt kör sugara, azért a DCB∢=β és mint már láttuk az I. megoldásban a CFD∢ is egyenlő β-vel. Ennek alapján a CDE▵∼FDC▵, mert a C∢ és F∢ egyenlőségén kívül a D∢ közös. Tehát
DE:DC=DC:DF,
amiből
DC2=DE⋅DF.

Ladányi József (Kisbér, Táncsics g. II. o. t.)

 

III. megoldás: Mivel (mint az I. megoldásban láttuk) az AFD∢=β, azért az AFD▵∼EBD▵, és így
DF:DA=DB:DE.
De DA=DB=DC, vagyis
DC2=DE⋅DF.

Tomor Benedek (Győr, Révai g. II. o. t.)

 

IV. megoldás:
DE=DB  tg  β=DC  tg  β(1)DF=DA  cotg  β=DC  cotg  β(2)


(1) és (2) szorzata
DE⋅DF=DC2  tg  β⋅  cotg  β=DC2.

Gaál István (Csorna, Latinka Sándor g. II. o. t.)

 

V. megoldás: Tükrözzük a BE szakaszt centrálisan a D pontra nézve. B tükörképe A pontba esik és E tükörképe E' az A és F pontokkal derékszögű háromszöget alkot, mert α+β=90∘. Ebben a derékszögű háromszögben ismert tétel szerint az átfogóhoz tartozó magasság mértani középarányos az átfogó két metszete között, vagyis AD2=E'D⋅DF, de AD=DC és E'D=DE és így
DC2=DE⋅DF.

Döbrösy László (Bp., V. Piarista g. II. o. t.)