Kezdőlap


Feladat:	44. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Aujeszky G. , Balatoni F. , Balatoni I. , Balogh Erzsébet , Bártfai P. , Beke Éva és Mária , Béres I. , Biczó G. , Czili Gyula , Deseő Z. , Földeák M. , Gaál I. , Gärtner P. , Huszár k. , Kertész Á. , Kézdy P. , Lackner Györgyi , Marik M. , Németh Lehel , Pátkai Gy. , Quittner P. , Roboz Ágnes , Schmidt E. , Tomor B. , Tóth Ildikó , Uray L. , Vigassy J.
Füzet:	1952/december, 138 - 139. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Oszthatóság, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1952/május: 44. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Legyen a két páratlan szám: $2 a + 1$ és $2 b + 1$ .

\begin{matrix} {(2 a + 1)}^{2} - {(2 b + 1)}^{2} = 4 a^{2} + 4 a + 1 - 4 b^{2} - 4 b - 1 = 4 (a^{2} + a - b^{2} - b) = \end{matrix}

\begin{matrix} = 4 [a (a + 1) - b (b + 1)] . \end{matrix}

A szögletes zárójelben lévő két tag mindegyik két egymásután következő szám szorzata és így páros. Két páros szám különbsége is páros és páros szám 4-szerese osztható 8-cal.

Czili Gyula (Bp. IV., Könyves Kálmán g. II. o. t.)

II. megoldás: Minden páratlan szám

4 k \pm 1

alakú.
Legyen az egyik szám

4 p \pm 1

, a másik

4 q \pm 1

. Tehát a két szám négyzetének különbsége

\begin{matrix} {(4 p \pm 1)}^{2} - {(4 q \pm 1)}^{2} = 16 p^{2} \pm 8 p + 1) - (16 q^{2} \pm 8 q^{2} + 1) = \end{matrix}

\begin{matrix} = 16 (p^{2} - q^{2}) \pm 8 (p \pm q) \end{matrix}

Ebben az alakban a 8-cal való oszthatóság nyilvánvaló.

Németh Lehel (Jászberény, Mikszáth g. II. o. t.)