Kezdőlap


Feladat:	41. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Balatoni F. , Bártfai P. , Béres I. , Biczó G. , Deseő Zoltán , Fekete Irén , Grätzer Gy. , Kálmán Gy. , Kertész Á. , Kovács László , Labadek T. , Marik M. , Pátkai Gy. , Roboz Ágnes , Schmidt E. , Schmidt E. , Tomor B. , Tóth Ildikó , Tóth Mária , Vigassy J.
Füzet:	1952/december, 136 - 137. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Paraméteres egyenletrendszerek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1952/május: 41. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Mindenekelőtt nyilvánvaló, hogy az $a$ , $b$ , $c$ együtthatók között nem lehet két egyenlő, mert különben nem volna 3 független egyenletünk.

(1)-ből (2)-t kivonva

\begin{matrix} a^{3} - b^{3} + (a^{2} - b^{2}) x + (a - b) y = 0, \end{matrix}

vagyis (

a - b

)-vel osztva

\begin{matrix} a^{2} + a b + b^{2} + (a + b) x + y = 0. \end{matrix}

(4)

Ugyanígy (1)-ből (3)-at kivonva és

(a - c)

-vel osztva

\begin{matrix} a^{2} + a c + c^{2} + (a + c) x + y = 0. \end{matrix}

(5)

(4)-ből kivonva (5)-öt

\begin{matrix} a (b - c) + (b^{2} - c^{2}) + (b - c) x = 0, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} a + b + c + x = 0, \end{matrix}

és így

\begin{matrix} x = - (a + b + c) . \end{matrix}

x

ezen értékét (4)-be helyettesítve

\begin{matrix} y = - a^{2} - a b - b^{2} + (a + b) (a + b + c) = \\ = - a^{2} - a b - b^{2} + a^{2} + 2 a b + b^{2} + a c + b c = a b + a c + b c . \end{matrix}

x

és

y

nyert értékeit (1)-be helyettesítve

\begin{matrix} z = - a^{3} + a^{3} + a^{2} b + a^{2} c - a^{2} b - a^{2} c - a b c = - a b c . \end{matrix}

Deseő Zoltán (Bp. X., I. László g. II. o. t.)

II. megoldás: Tekintsük

x

y

z

-t a

\begin{matrix} v^{3} + x v^{2} + y v + z = 0, \end{matrix}

v

-re nézve harmadfokú egyenlet együtthatóinak, amelynek gyökei ‐ feladatunk értelmében ‐

v_{1} = a

v_{2} = b

v_{3} = c

.
A gyöktényezős alak tehát

\begin{matrix} (v - a) (v - b) (v - c) = 0, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} v^{3} - (a + b + c) v^{2} + (a b + a c + b c) v - a b c = 0. \end{matrix}

Ebből nyilván

\begin{matrix} x = - (a + b + c) \\ y = a b + a c + b c \\ z = - a b c . \end{matrix}

Kovács László (Debrecen, Ref. g. II. o. t.)