A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás: Jelöljük az adott kör középpontját -val, az adott egyenest -vel és az -n tetszőlegesen felvett pontot -vel. Szerkesszük meg a körhöz az adott -vel párhuzamos és érintőket (1. ábra) 1. ábra A -ből a körhöz húzott érintő messe -et -ban, az és szögfelezője pedig messe -et -ben. A nyilván egyenlő szárú, mert az és szöge, mint váltószög egyenlő az és által bezárt szöggel. A egyenes felezi a -ból kiinduló két érintő: és szögét és mint ilyen szükségképpen merőleges és felezi a alapot. Ha a egyenes és metszéspontját -sel jelöljük, akkor a négyszög az előbbiek alapján rombusz. Az -ből az -re bocsátott merőleges eszerint egyezik a rombuszátlóval és e merőlegesnek talppontja -en pedig azonos a rombusz átlóinak metszéspontjával. Ha mozog az egyenesen, akkor a rombusz változik, de a , ill. rombuszoldalak mindig az , ilL egyeneseken maradnak és így a két átló metszéspontja az és párhuzamos egyenesek közét felező egyenesen mozog. Szóról-szóra ugyanúgy kimutathatjuk ‐ a érintőt tekintve ‐, hogy a pontok rajta vannak azon a egyenesen, amely az és párhuzamos egyenesek közét felezi. A teljes mértani helyet: és (végtelen hosszú) egyeneseket, csak akkor kapjuk, ha a másik két szögfelezőt is figyelembe vesszük.
Deseő Zoltán (Bp. V. Berzsenyi g. II. o. t.) |
II. megoldás: Jelöljük érintési pontját -vel. Az -ből az -re bocsátott merőleges messe a kört -ben. az -ból az -re bocsátott merőleges talppontja -n ; ennek a merőlegesnek metszéspontjai -vel, -vel legyenek ill. (1. ábra). A merőleges szárú szögek tétele alapján az és így az , mert és az oldal közös. De az derékszögű (mert a érintő merőleges az sugárra) és így az is derékszögű, tehát , vagyis . Ez azt jelenti, hogy ha mozog az -n, az befutja az egyenest, a az egyenest, és felezőpontja befutja az és párhuzamos egyenesek közét felező egyenest.
Kovács László (Debrecen, Ref. g. II. o. t.) |
III. megoldás: A betűzést a 2. ábra mutatja.
Tükrözzük az adott kört és a , ill. érintőket az , ill. szögfelezőkre nézve, akkor az tükörképe , ill. , a és tükörképei egybeesnek -vel, úgyszintén egybeesnek és érintési pontok tükörképei az egyenesen és ebben az pontban érintik az adott kör tükörképei: és az egyenest. Ha mozog az egyenesen az és pontok mozognak az -vel párhuzamos, -től távolságban levő egyeneseken, ha -rel jelöljük az adott kör sugarát. Ha az pontnak az -től való távolságát -mel jelöljük, akkor az és távolságok felezőpontjai: és is az -vel párhuzamos és egyeneseken mozognak, amelyeknek távolságai -től: (Ez az eredmény másképpen fejezi ki az I. és II. megoldásban megállapított tényt.) |
|