Feladat: 29. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Balatoni F. ,  Balatoni István ,  Bártfai P. ,  Beke Éva és Mária ,  Biczó G. ,  Deseő Z. ,  Eöllös P. ,  Fekete Irén ,  Grätzer Gy. ,  Huszár k. ,  Ivanyos A. ,  Kálmán Gy. ,  Kertész Á. ,  Kovács L. ,  Lackner Györgyi ,  Lukács L. ,  Marik M. ,  Morva J. ,  Papp Z. ,  Quittner P. ,  Reichlin V. ,  Roboz Ágnes ,  Schmidt E. ,  Simon J. ,  Simon J. ,  Tomor B. ,  Tóth Ildikó ,  Tóth Mária ,  Vastag György ,  Vértes P. 
Füzet: 1952/november, 115 - 116. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paraméteres egyenletek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Műveletek polinomokkal, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1952/április: 29. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Az adott gyököket behelyettesítve a

4a+2b+14=09a+3b+33=0


egyenleteket kapjuk, amelyekből
a=-4,b=1.

a és b ezen értékeit egyenletünkbe helyettesítve, az
x3-4x2+x+6=0(1)
egyenlethez jutunk.
Másrészt, ha a keresett harmadik gyököt x3 mal jelöljük, egyenletünk gyöktényezős alakja
(x-2)(x-3)(x-x3)=0(2)
(1)-és (2)-ből következik, hogy
x-x3=x3-4x+x+6(x-2)(x-3)=x3-4x2+x+6x2-5x+6=x+1,
vagyis
x3=-1.

Balatoni István (Veszprém, Lovassy László g. II. o. t.)

 

II. megoldás: A harmadfokú egyenlet gyöktényezős alakja (ha a 3-adfokú tag együtthatója 1)
(x-x1)(x-x2)(x-x3)=0,
vagyis
x3-(x1+x2+x3)x2+(x1x2+x1x3+x2x3)x-x1x2x3=0.

Jelen esetben
a=-(x1+x2+x3),(1)6=x1x2+x1x3+x2x3a,(2)6=-x1x2x3,(3)
továbbá
x1=2ésx2=3.

(3) alapján
6=-6x3,
amiből
x3=-1,
és így (1)-ből
a=-(2+3-1)=-4,
és (2)-ből
b=6-2-3=1.

Vastag György (Bp. XXI., Jedlik Ányos g. II. o. t.)