Kezdőlap


Feladat:	27. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Balatoni F. , Balatoni I. , Balogh Erzsébet , Bártfai P. , Beke Éva és Mária , Beleznay F. , Béres I. , Biczó G. , Csanády S. , Csere Ilona , Csomós Sándor , Deseő Z. , Eöllös P. , Fekete Irén , Grätzer Gy. , Huszár k. , Ivanyos A. , Jámbor I. , Kálmán Gy. , Kecskeméti I. , Kertész Á. , Kovács L. , Lábos E. , Lackner Györgyi , Magyar K. , Majláth L. , Marik M. , Mohos B. , Morva J. , Papp Z. , Reichlin V. , Roboz Ágnes , Schmidt E. , Sebők J. , Spellenberg S. , Szendrei I. , Tahy P. , Tili K. , Tomor B. , Tóth Ildikó , Tóth Mária , Ungvári L. , Vastag Gy.
Füzet:	1952/november, 114. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Azonosságok, Oszthatóság, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1952/április: 27. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Az (1) alatti kifejezésben a szorzatot összeggé alakítva:

\begin{matrix} x y z + (x y + y^{2} + x z + y z) (z + x) = \\ = x y z + x y z + y^{2} z + x z^{2} + y z^{2} + x^{2} y + x y^{2} + x^{2} z + x y z . \end{matrix}

Emeljük ki az utóbbi összeg megfelelő tagjaiból rendre

x y

-t,

x z

-t, ill.

y z

-t, ekkor kifejezésünk így alakul

\begin{matrix} x y (x + y + z) + x z (x + y + z) + y z (x + y + z) = (x + y + z) (x y + x z + y z), \end{matrix}

amely alakban az

(x + y + z)

-val való oszthatóság nyilvánvaló.

Csomós Sándor (Hatvan, 4. sz. vegyip. techn.)

II. megoldás: Alakítsuk át (1) második tagját úgy, hogy tényezőiben

(x + y + z)

szerepeljen. (1) új alakja:

\begin{matrix} x y z + (x + y + z - z) (x + y + z - x) (x + y + z - y) \end{matrix}

(2)

(2) második tagját olyan kéttagúak szorzatának fogjuk fel, amelyek közös első tagja

x + y + z

. A három kéttagú szorzatában csak az a tag nem osztható

(x + y + z)

-vel, amely a három második tag szorzatából áll:

- x y z

. Ezért a teljes kifejezést osztva

(x + y + z)

-vel, a maradék

\begin{matrix} x y z - x y z = 0, \end{matrix}

és ezzel az oszthatóságot bebizonyítottuk.

Tóth Ildikó (Debrecen, Csokonai g. II. o. t.)