Feladat: 23. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Avvakumovits O. ,  Balatoni Ferenc ,  Biczó G. ,  Csanády S. ,  Deseő Z. ,  Fejes K. ,  Fülöp J. ,  Kardos P. ,  Kontur L. ,  Kovács L. ,  Lackner Györgyi ,  Marik M. ,  Rozgonyi I. ,  Schmidt E. ,  Tahy P. 
Füzet: 1952/november, 111 - 112. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Derékszögű háromszögek geometriája, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Egyenes, Háromszögek szerkesztése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1952/március: 23. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Képzeljük a feladatot megoldottnak.

 
 
1. ábra
 

Az AB1C1 (1. ábra) köré írt kör a b egyenest, a B1-en kívül, még a T pontban metszi. Thales‐tétele értelmében AT⊥b, továbbá a B1TC1∢, mint negyedkörön nyugvó kerületi szög 45∘. Tehát, ha a B pont végigfut a b egyenesen, a derékszög csúcspontjának, C-nek mértani helye a T-n átmenő és b-vel 45∘-ú szöget bezáró e és f egyenesek.
 

Eszerint a szerkesztés menete: A-ból merőlegest bocsátunk b-re, amely a b egyenest T-ben metszi. T-n át meghúzzuk a b-vel 45∘-ú szöget bezáró e és f egyeneseket. Ezek metszik ki c-ből a keresett C1 és C2 pontokat.
 

II. megoldás: Hagyjuk figyelmen kívül a b egyenest, fusson a C pont végig a c egyenesen és keressük a B csúcsok mértani helyét. Rajzoljunk egy tetszőleges ABC derékszögű háromszöget úgy, hogy a derékszög C csúcsa a c-n legyen (2. ábra.)
 
 
2. ábra
 

Bocsássunk A-ból c-re egy merőleges n egyenest. Jelöljük a c-vel való metszéspontot A'-vel és szerkesszük meg c-re nézve A tükörképét A*-ot. Az A* ponton át húzzunk c-vel párhuzamos c* egyenest. Jelöljük B-nek a c-n levő merőleges vetületét B'-vel. Nyilvánvaló, hogy a keletkezett két derékszögű háromszög AA'C▵≃CB'B▵, mert 2‐2 oldal kölcsönösen merőleges lévén egymásra a C∢=B∢ és AC=CB a feltétel szerint. A B-nek távolsága n-től =CA'-CB'=BB'-AA'=BB'-A*A'= a B pont távolsága c*-től. Eszerint a B pontok mértani helye az A-nak A* tükörképén átmenő, c* és n egyenesek által alkotott derékszöget felező g és h egyenesek. Ez utóbbiaknak b-vel való metszéspontjai adják a keresett B1 és B2 pontokat.
 

III. megoldás: Képzeljük a feladatot megoldottnak. Az AB1C1▵ köré írt kör a c egyenest C1 en kívül még az M1 pontban metszi (1. ábra). A kerületi szögek tétele szerint AM1C1∢=45∘ és C1M1B1∢=45∘.
A szerkesztés menete tehát: A-ból húzzunk egyeneseket, amelyek c-vel 45∘-ú szöget alkotnak. Ezek c-t M1 és M2 pontokban metszik, amely pontokban M1A, M2A egyenesekre merőlegeseket bocsátva, e merőlegesek metszik ki b-ből a keresett B1 és B2 pontokat.
 

Lackner Györgyi (1. sz. Textilip. techn. I. o. t.)

 

IV. megoldás: Jelöljük b és c metszéspontját S-sel, az S és A összekötő egyenest a-val, b és c szögét α-val, c és a szögét β-val.
 

Rajzoljunk egy tetszőleges A'B'C' egyenlő szárú derékszögű háromszöget, majd szerkesszük meg azt az S' pontot, amelyből a B'C' befogó α, az A'C' befogó β szög, és ugyanakkor az A'B' átfogó α+β (ill. α-β) szög alatt látszik. (2 megoldás S'-re.)
Az S'A', S'B' és S'C' távolságokat megfelelő irányban S-ből az a, b, c egyenesekre mérve a keresett háromszöggel hasonló fekvésű A*B*C* háromszöget nyerünk, melyet még egy hasonlósági transzformációnak alávetve (A-n át párhuzamost húzunk AB egyenessel stb.), megkapjuk a keresett háromszöget.
 

Balatoni Ferenc (Bp. VI., Rákóczi közg. k. i. II. o. t.)