Feladat: 22. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Avvakumovitis O. ,  Balatoni F. ,  Bártfai P. ,  Beleznay F. ,  Biczó G. ,  Bock I. ,  Bujdosó A. ,  Deseő Zoltán ,  Fejes Kálmán ,  Grätzer Gy. ,  Hangay Gy. ,  Huszár k. ,  Kardos Péter ,  Kása I. ,  Kecskeméti I. ,  Klébert G. ,  Kollár L. ,  Kontur L. ,  Kovács I. ,  Krammer G. ,  Kunszentmiklós, Damjanich g. szakköre ,  Lackner Györgyi ,  Ladányi J. ,  Marik M. ,  Mohos B. ,  Molnár I. ,  Oto L. ,  Papp Z. ,  Papp Z. ,  Pátkai Gy. ,  Rácz M. ,  Reichlin V. ,  Schmidt E. ,  Szendrei I. ,  Tahy Péter ,  Tomor B. 
Füzet: 1952/november, 108 - 110. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Tengelyes tükrözés, Kör (és részhalmaza), mint mértani hely, Paralelogrammák, Négyszögek szerkesztése, Parabola, mint mértani hely, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1952/március: 22. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: A Q pont, mint valamely szögfelező egy pontja, egyenlő távolságnyira van a paralelogramma két szomszédos oldalától.

 
 
1. ábra
 

Tegyük fel AQ<QC (1. ábra) és a Q pont a B∢ felezőjén van. A P pontot az AB oldalon feltételezve, a Q köré szerkesztett kör, mely érinti az AP(≡AB) egyenest, érinteni tartozik a BC oldalt is, vagyis a C-ből e körhöz szerkesztett két érintő metszi ki az AP egyenesből a B1 és B2 csúcspontokat. E két érintő mindig megszerkeszthető, mert ha AQ<QC a C pont szükségképpen a körön kívül marad. Ha a P pontot a BC oldalon tételezzük fel, akkor teljesen hasonlóan történik a B3 és B4 csúcspontok megszerkesztése, de most az A pont kerülhet a Q köré rajzolt kör belsejébe is, mely esetben B3 és B4 nem létezik. A paralelogramma negyedik csúcspontja D a B centrális tükörképe az AC felezőpontjára nézve.
Tehát 4 megoldás lehetséges, ha a P pontot olyan paralelogramma-oldalon tételezzük fel, amely szára annak a szögnek, amelynek felezője átmegy a Q ponton. (L. megjegyzést a IV. megoldás után.) Ha a Q köré rajzolt, CP egyenest érintő kör átmegy az A-n, akkor a megoldások száma 3, mert B3 és B4 egybeesik. Ha pedig A az utóbbi körnek belsejébe kerül, akkor a megoldások száma 2.
 

II. megoldás: Mivel a szögfelező az átlót olyan részekre osztja, amelyek aránya egyenlő a mellettük fekvő oldalak arányával, azért a keresett B csúcspont olyan Apollonius‐körön fekszik, melynek minden X pontjára nézve
XAXC=QAQC.
 
2. ábra
 

Megszerkesztjük az Apollonius-kört (2. ábra), melyből az AP és CP egyenesek metszik ki B1, B2, B3 és B4 pontokat. AQ<QC esetén az AP mindig 2 különböző pontban metszi az Apollonius-kört, de a CP esetleg csak érinti (3 megoldás, B3≡B4), vagy nem metszi (2 megoldás). 3 megoldást kapunk akkor is, ha P rajta van az Apollonius-körön.
Ha Q az AC felezőpontja, akkor az Apollonius-kör az AC távolságot merőlegesen felező egyenessé fajul (2 megoldás: rombusz). Ha még azonkívül a P rajta van az utóbbi egyenesen, akkor egy triviális rombuszmegoldást kapunk.
 

Tahy Péter (Bp. II., Rákóczi g. II. o. t.)
 

III. megoldás: Tükrözzük a CQB1▵-et a B1Q szögfelezőre nézve, akkor a C tükörképe C1* rákerül a B1A≡AP egyenesre és QC1*=QC (1. ábra). Tehát a Q köré QC sugárral rajzolt kör metszi ki az AP egyenesből a C1* és C2* tükörképet. (C2* a B2Q szögfelezőre nézve C tükörképe.) A CC1* és CC2* felező merőlegesei metszik ki AP-ből a keresett B1 és B2 pontot. Ugyanígy kaphatjuk a B3 és B4 pontokat, ha Q köré QA sugárral rajzolunk kört, de ez nem metszi szükségképpen a CP-t, ha AQ<QC.
 

Kardos Péter (Szolnok, 16. sz. gépip. techn. II. o. t.)

 

 

IV. megoldás: A keresett ACB▵-hoz hasonló háromszöget szerkesztünk. A PAC∢=BAC∢ adott, és tudjuk, hogy BABC=QAQC.
 
 
3. ábra
 

Tehát AP-re felmérjük az AB*=AQ távolságot (3. ábra) és B* köré QC sugárral rajzolt kör kimetszi az AC egyenesből a C1* és C2* pontokat. (Mindig van két különböző metszéspont, ha AQ<CQ). A C ponton át C1*B, ill. C2*B egyenesekkel párhuzamos egyenesek metszik ki az AP-ből a B1 és B2 pontokat. Hasonlóképpen szerkeszthetjük a B3 és B4 pontokat a CP egyenesen, de itt nincs mindig megoldás, mert lehet, hogy a CP-n levő (B*) pont köré rajzolt QA sugarú kör nem metszi az AC egyenest, amint ezt a 3. ábra mutatja.
 

Deseő Zoltán (Bp. X., I. László g. II. o. t.)

 

Megjegyzés: Eddig az összes megoldásokban a P pontot a B∢ szárain tételeztük fel. De a feladat szövegezése szerint lehet a P pont a D∢ szárain (AD, ill. BD oldalakon) is, amely szögnek felezője nem megy át a Q ponton. Ez esetben a P-nek az AC felezőpontjára vonatkozó tükörképével, P'-vel végzendő el a szerkesztés és további, legfeljebb 4 megoldást kaphatunk. Összesen tehát 8 megoldás lehetséges. Ezek közül 4 paralelogramma egy‐egy oldala az AP egyenesen, a másik 4 megoldás egy‐egy oldala a CP egyenesen van.