|
Feladat: |
20. matematika gyakorlat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Ágoston Gy. , Avvakumovits O. , Balatoni F. , Balogh Erzsébet , Bártfai P. , Beke Éva és Mária , Beleznay Ferenc , Bock J. , Bujdosó A. , Csanády S. , Cseh I. , Fejes K. , Gömöri P. , Holbok S. , Huszár Károly , Jámbor I. , Kardos P. , Kása I. , Kecskeméti I. , Kézdy P. , Klébert G. , Kollár L. , Kovács L. , Krammer G. , Kristóf T. , Lackner Györgyi , Ladányi J. , László Olga , Marik M. , Mercz F. , Mohos B. , Molnár I. , Németh I. , Osváth Etelka , Papp Z. , Parti J. , Pátkai Gy. , Rácz Márton , Reichlin V. , Robogány I. , Roboz Ágnes , Schmidt E. , Schmidt Eligius , Schuder J. , Sohár P. , Szendrei István , Tahy P. , Tóka P. , Tomor B. |
Füzet: |
1952/október,
55 - 57. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Középpontos tükrözés, Vetítések, Síkgeometriai szerkesztések, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1952/március: 20. matematika gyakorlat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I.megoldás: Legyen , akkor . A szelő metszeteinek mértani közepe a -ből húzott érintőszakasz (1. ábra). Tehát , amiből . tehát olyan egyenlő szárú derékszögű háromszög átfogója, amelynek befogói hosszúságúak. A köré sugárral rajzolt kör metszi ki az adott körből a és pontokat. A megoldhatóság feltétele: Az adott kör középpontját -val, sugarát -rel jelölve, kell, hogy és , vagyis . Mindkét oldal pozitív lévén De , és így vagyis | |
Ebből következik, hogy esetén 2 különböző megoldás van. (Az , ill. egyenlőségeket is megengedve, egy-egy elfajuló, ill. triviális megoldáshoz jutunk.)
Schmidt Eligius (Bp. I., Fürst S. g. II. o. t.) |
1. ábra II.megoldás: Képzeljük a feladatot megoldottnak (1. ábra). A ponton át -val húzott párhuzamos az távolságot annak felezőpontjában, -ben metszi és . Tehát az távolság felezőpontja köré sugárral rajzolt kör metszi ki az adott körből a és pontokat. Feladatunk megoldható, ha az szerkeszthető, vagyis | |
Huszár Károly (Bp. II., Rákóczi g. II. o. t.) |
A hasonlósági transzformáción alapuló megoldások legnagyobb része lényegileg megegyezik ezzel a megoldással.
III. megoldás: Képzeljük a feladatot megoldottnak (2. ábra). Jelöljük -mel az húr felezőpontját. -en át -mel húzott párhuzamos messe -t pontban. 2. ábra A feladat szerint , amiből .
Mivel , azért is merőleges -re, vagyis a pont a fölé, mint átmérő fölé rajzolt Thales-körön van. A szerkesztés menete tehát: megszerkesztjük a pontot és a fölé rajzolt Thales-kör metszi ki az adott körből a keresett és pontokat. A szerkesztés elvégezhető, ha amellett, hogy az adott körön kívül van (feladatunk kikötése), az adott körön belül van, vagyis , azaz .
Rácz Márton (Bp. II., Rákóczi g. II. o. t.) |
IV. megoldás: Képzeljük a feladatot megoldottnak. Tükrözzük az adott kört a pontra. Az pont centrális tükörképe feladatunk értelmében nyilván a pont és az egész kör tükörképe az adott körrel egybevágó kör, mely átmegy a -n és érinti -ben az adott kört. A tükörkép középpontja ezek szerint az köre és köré sugárral rajzolt körök metszéspontja és (2. ábra). Az és centrális egyenesek metszik ki az adott körből a keresett és pontokat. A megoldhatóság feltétele, hogy , és oldalakból háromszög legyen szerkeszthető, vagyis , azaz .
Szendrei István (Kunszentmiklós, Damjanich g. I. o. t.) |
3. ábra V. megoldás: Ha a feladatot megoldottnak képzeljük, akkor (3.ábra) a ponton át a szelőre emelt merőleges ‐ Thales tétele alapján ‐ második metszéspontként kimetszi a körből az pont átellenes pontját -ot és . Tehát köré sugárral rajzolt kör metszi ki az adott körből az és pontokat, amelyeknek átellenes pontjai a keresett és pontok. A megoldhatóság feltétele szóról-szóra ugyanaz, mint a IV. megoldásnál.
Beleznay Ferenc (Bp. V., Piarista g. I. o. t.) |
|
|