Kezdőlap


Feladat:	19. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Adamovits F. , Avvakumovitis O. , Balatoni Ferenc , Beke Éva és Mária , Biczó Géza , Bock I. , Bujdosó A. , Dajka D. , Deseő Z. , Fejes K. , Grätzer Gy. , Huszár k. , Jámbor I. , Kardos P. , Kása I. , Kecskeméti I. , Kézdy P. , Klébert G. , Knébl L. , Kollár L. , Kontur L. , Kovács L. , Krammer G. , Kristóf T. , Kunszentmiklós, Damjanich g. szakköre , Ladányi J. , Marik M. , Molnár I. , Nagykanizsa, Irányi g. szakköre , Osskó Z. , Papp Z. , Pátkai Gy. , Rácz M. , Reichlin V. , Roboz Ágnes , Rozgonyi I. , Schmidt E. , Szendrei I. , Szerdahelyi G. , Szokody L. , Tóka P. , Tomor B. , Wolszky A.
Füzet:	1952/október, 54 - 55. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek nevezetes tételei, Alakzatok mértéke, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1952/március: 19. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: A jelölést az ábra mutatja. Az $O_{1} B C_{▵}$ -ben a $B ∢ = 90^{\circ} - \frac{β}{2}$ és $C ∢ = 90^{\circ} - \frac{γ}{2}$ , mert a külső szögfelezők merőlegesek a belső szögfelezőkre.
Tehát

\begin{matrix} α_{1} + (90^{\circ} - \frac{β}{2}) + (90^{\circ} - \frac{γ}{2}) = 180^{\circ}, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} α_{1} = \frac{β}{2} + \frac{γ}{2} = 90^{\circ} - \frac{α}{2}; \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} α = 180^{\circ} - 2 α_{1} = β_{1} + γ_{1} - a_{1} \end{matrix}

Hasonlóképpen

\begin{matrix} β = 180^{\circ} - 2 β_{1} = α_{1} + γ_{1} - β_{1} \end{matrix}

és

\begin{matrix} γ = 180^{\circ} - 2 γ_{1} = α_{1} + β_{1} - γ_{1} \end{matrix}

Balatoni Ferenc (Bp. VII., Rákóczi közg. k. i. II. o. t.)

II. megoldás: Az

O B O_{1} C

húrnégyszög, mert a

B ∢ = C ∢ = 90^{\circ}

.
A

B O C_{▵}

-ből

O ∢ = 180^{\circ} - \frac{β}{2} - \frac{γ}{2}

, a húrnégyszögböl pedig

O ∢ = 180^{\circ} - α_{1}

,
Tehát

α_{1} = \frac{β}{2} + \frac{γ}{2} = 90^{\circ} - \frac{α}{2}

stb., mint az I. megoldásban.

Biczó Géza (Bp. II., Rákóczi g. I. o. t.)

Megjegyzés: Mivel az eredeti

A B C

háromszög belső szögfelezői egyszersmind a külső szögfelezők alkotta

O_{1} O_{2} O_{3}

háromszög magasságvonalai, azért feladatunk így is fogalmazható: Valamely háromszög szögei adottak, mekkorák a talpponti háromszög szögei?