Kezdőlap


Feladat:	11. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Avakunovics O. , Balatoni F. , Bujdosó A. , Csanády M. , Deseő Z. , Fejes K. , Huszár k. , Kállai T. , Kelemen I. , Kollár L. , Kovács László , Lackner Györgyi , Marik M. , Reichlin V. , Schmidt E. , Sohár P. , Szélba L. , Szlanka I. , Tahy P. , Tomor B. , Völgyesi A.
Füzet:	1952/szeptember, 24. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Derékszögű háromszögek geometriája, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1952/február: 11. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek a befogók $a$ és $b$ , az átfogó $c$ . Akkor a feladat szerint.

\begin{matrix} a + b + c = 30, & (1) \\ a^{2} + b^{2} = c^{2}, & (2) \end{matrix}

és a háromszög kétszeres területe

\begin{matrix} a b = m_{c} \cdot c = 6 c . \end{matrix}

(3)

(1), (2) és (3)-ból

\begin{matrix} 30 - c = a + b = \sqrt[]{a^{2} + b^{2} + 2 a b} = \sqrt[]{c^{2} + 12 c}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} 900 - 60 c + c^{2} = c^{2} + 12 c, \\ 72 c = 900, \end{matrix}

miből

\begin{matrix} c = \frac{900}{72} = \frac{25}{2} = 12, 5. \end{matrix}

(Meggyőződünk, hogy a

c = 12, 5

érték a négyzetgyökös egyenletet is kielégíti:

\sqrt[]{156, 25 + 150} = \sqrt[]{306, 25} = 17, 5 = 30 - 12, 5

)
(1) és (3)-ból

\begin{matrix} a + b & = 17, 5, & (4) \\ a b & = 75. & (5) \end{matrix}

(4) négyzetéből kivonva (5)

4

-szeresét:

\begin{matrix} {(a - b)}^{2} = 306, 25 - 300 = 6, 25, \end{matrix}

miből

\begin{matrix} a - b = \pm 2, 5 \end{matrix}

(6)

(4) és (6)-ból

\begin{matrix} a_{1} = b_{2} = 10 és a_{2} = b_{1} = 7, 5. \end{matrix}

Tehát a háromszög oldalai

10

cm,

7, 5

cm és

12, 5

cm.

Kovács László (Debrecen, Ref. koll. g. II. o. t.)