Feladat: 8. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Ágoston Gy. ,  Avakunovics O. ,  Balatoni F. ,  Batha J. ,  Beke Éva és Mária ,  Biczó Géza ,  Bujdosó A. ,  Csernyák L. ,  Deseő Zoltán ,  Érsek L. ,  Fejes K. ,  Földeák M. ,  Földi L. ,  Grätzer Gy. ,  Gyovai E. ,  Gömöri P. ,  Hangay Gy. ,  Huszár k. ,  Illényi T. ,  Kállai T. ,  Kertész Á. ,  Kiss Piroska ,  Kollár L. ,  Kovács L. ,  Kozma Vera ,  Kristóf T. ,  Lackner Györgyi ,  Ladányi J. ,  Lászlóffy A. ,  Marik M. ,  Miskovszky Gy. ,  Mohos B. ,  Molnár Zsuzsanna ,  Nagy B. ,  Németh L. ,  Németh L. ,  Quittner P. ,  Rácz M. ,  Radnai J. ,  Reichlin V. ,  Sántha E. ,  Sántha E. ,  Schmidt Eligius ,  Schuder J. ,  Sohár P. ,  Szélba L. ,  Szendrei I. ,  Szepesi J. ,  Szlankai I. ,  Tahy P. ,  Tóka P. ,  Tomor B. ,  Turza S. ,  Völgyesi A. ,  Zarka S. 
Füzet: 1952/szeptember, 20 - 21. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Pont körüli forgatás, Háromszögek szerkesztése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1952/február: 8. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Mivel a keresett egyenlőszárú háromszögalapjához tartozó középponti szög (a kerületi szög kétszerese) 90∘, azért egy-egy szárhoz tartozó középponti szög 360∘-90∘2=135∘.

 
 

Tehát szerkesztünk tetszőleges helyzetben egy 135∘-os középponti szöghöz tartozó húrt és e húrt érintő koncentrikus kört. E kör érintői közül kell a P ponton átmenő háromszögszárakat kiválasztani, vagyis a P-ből a koncentrikus körhöz (Thales-kör segítségével) szerkesztett két érintő lesz egy-egy keresett szár. Mivel e 2 szár bármelyik végpontja tekinthető a keresett egyenlő szárú háromszög csúcspontjának, azért összesen 4 megoldást kapunk. (Az ábrán 2 eredmény vonallal, 2 pedig vékony vonallal van kihúzva). Megoldás csak akkor van, ha a PO távolság ≧ a koncentrikus kör sugaránál. (A koncentrikus kör sugara r⋅sin45∘2, ahol r az adott kör sugara. Tehát a megoldhatóság feltétele: PO≧rsin22∘30'. Egyenlőség esetén a megoldások száma csak 2)
 

Deseő Zoltán (Bp. X., I. László g. II. o. t.)

 

II. megoldás: Szerkesszünk a körbe egy tetszőleges helyzetű, 45∘-os csúcsszöggel bíró egyenlő szárú háromszöget és határozzuk meg az OP sugarú koncentrikus körnek e háromszög száraival való (általában) 4 metszéspontját. Ha a négy metszéspont mindegyikét rendre O körül P-be forgatjuk és vele együtt (ugyanezzel a szöggel) az egész felvett háromszöget, akkor megkapjuk feladatunk 4 megoldását. Történhetik e forgatás szögmásolás nélkül egyszerűen úgy, hogy az egyes metszéspontok által a szárakon létesített szeleteket vesszük körzőbe és P-ből e sugarakkal rajzolt körívek metszik ki a keresett csúcspontokat. A megoldások száma 4, 2, 0 aszerint, amint az OP sugarú koncentrikus kör a két szárat 4 különböző pontban metszi, vagy 1-1 pontban érinti, vagy egyáltalán nem metszi. (Ez egyenértékű azzal, amit az I. megoldásnál megállapítottunk.)
 

Biczó Géza (Bp. II., Rákóczi g. I. o. t.)

 

III. megoldás: Mivel az adott kör középpontja O, szükségképpen rajta fekszik a keresett egyenlő szárú háromszög csúcsszögének felezőjén, azért a PO távolság a keresett csúcspontokból,  45∘2=22,5∘ alatt látszik. Ha tehát megszerkesztjük azon pontok mértani helyét, amelyekből az OP szakaszt 22,5∘ alatt látjuk (két OP-re szimmetrikus, úgynevezett ,,látókörív'', amelyeknek középponti szöge 315∘ és végpontjai O és P), akkor a két körív metszi ki az adott körből, a megoldást képező 4 egyenlő szárú háromszög egy-egy csúcspontját. (E két körív sugara =OP2:sin22,5∘=OP2sin22,5∘. Megoldás csak akkor van, ha a sugár ≧r2, vagyis OP≧rsin22,5∘, ami azonos az I. megoldásból nyert eredménnyel.)
 

Schmidt Eligius (Bp. I., Fürst Sándor g. II. o. t.)