Kezdőlap


Feladat:	7. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Lackner Györgyi , Pannonhalmi gimn. szakköre
Füzet:	1952/szeptember, 19 - 20. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paraméteres egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1952/február: 7. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Ha az $a x^{2} + b x + c = 0$ egyenletben $x$ helyébe $\frac{1}{y}$ -t helyettesítünk, kapjuk az

\begin{matrix} \frac{a}{y^{2}} + \frac{b}{y} + c = 0 egyenletet, vagyis y^{2} -tel (y \neq 0) szorozva \\ c y^{2} + b y + a = 0. \end{matrix}

Tehát az egyik egyenlet gyökei a másik egyenlet gyökeinek reciprok értékei.

Pannonhalmi gimn. szakköre.

II. megoldás: Legyen az első egyenletből

x_{1} = \frac{- b + \sqrt[]{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

és a másikból

y_{1} = \frac{- b + \sqrt[]{b^{2} - 4 a c}}{2 c}

\begin{matrix} x_{1} \cdot \frac{1}{y_{1}} = \frac{c}{a} = x_{1} \cdot x_{2}, miből x_{2} = \frac{1}{y_{1}} \end{matrix}

Hasonlóképpen

\frac{1}{x_{1}} \cdot y_{1} = \frac{a}{c} = y_{1} y_{2}

, miből

y_{2} = \frac{1}{x_{1}}

vagyis

x_{1} = \frac{1}{y_{2}}

.
Tehát az egyik egyenlet gyökei egyenlők a másik egyenlet gyökeinek reciprok értékeivel.

Lackner Györgyi (Bp. V., 1. sz. textilip. techn. I. o. t.)

III. megoldás: Az első egyenletből

\begin{matrix} x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} és x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} \end{matrix}

A második egyenletből

\begin{matrix} y_{1} + y_{2} = - \frac{b}{c} = - \frac{b}{a} \cdot \frac{a}{c} = (x_{1} + x_{2}) \cdot \frac{1}{x_{1} x_{2}} = \frac{1}{x_{2}} + \frac{1}{x_{1}} \end{matrix}

és

\begin{matrix} y_{1} y_{2} = \frac{a}{c} = \frac{1}{x_{1} x_{2}} \end{matrix}

Tehát

\frac{1}{x_{1}}

és

\frac{1}{x_{2}}

gyökei a

\begin{matrix} z^{2} - (y_{1} + y_{2}) z + y_{1} y_{2} = 0 \end{matrix}

egyenletnek. Ezen egyenlet gyökei azonban

y_{1}

és

y_{2}

.
Teljes értékű megoldás csak a fenti kettő érkezett be. Csak részleges megoldásoknak tekintethetők az olyan megállapítások, hogy

x_{1} x_{2} y_{1} y_{2} = 1

, vagy

\frac{x_{1}}{x_{2}} = \frac{y_{1}}{y_{2}}

, vagy

\frac{x_{1} x_{2}}{y_{1} y_{2}} = \frac{c^{2}}{a^{2}}

stb., mert ezek mind kevesebbet mondanak, mint a fent közölt megoldások.