A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás: Az egyenlőtlenségeket az alakok egyikére hozzuk. Meghatározzuk a baloldalon álló másodfokú függvények zérushelyeit (vagyis az egyenlet gyökeit). Ha ezek valósak, akkor előállítjuk függvényünket két elsőfokú függvényszorzataként. (Gyöktényezős alak.) a) Két (valós) szám szorzata csak úgy lehet negatív, ha a tényezők ellenkező előjelűek. Jelen esetben tehát kell, hogy és (fordítva lehetetlen) és így b) , vagyis, -gyel szorozva (az egyenlőtlenség jele megfordul) Két (valós) szám szorzata pozitív, ha mindkét tényező egyenlő előjelű. Mindkét tényező pozitív, ha és mindkét tényező negatív, ha . c) . Ehhez szükséges, hogy és (fordítva lehetetlen), vagyis d) . Mivel a baloldal mindig pozitív, vagy zéró, azért egyenlőtlenségünknek nincs megoldása.
Kertész Ádám (Bp. I., Fürst Sándor g. I. o. t.) |
II. megoldás: A másodfokú egyenlőtlenséget olyan alakra hozzuk, melyben az egyik oldal teljes négyzet. a) A törtek elkerülésére -gyel szorozva vagyis Egy szám négyzete, akkor kisebb -nél, ha és közé esik. Tehát , ahonnan , vagyis b) -gyel szorozva
vagyis Egy szám négyzete akkor nagyobb az egységnél, ha abszolut értéke nagyobb -nél. Tehát vagy , miből , vagy pedig , miből . c) Az előzetes szorzás természetesen elmaradhat, legfeljebb törtekkel számolunk.
miből következik, hogy vagyis
Kovács László (Debrecen, Ref. Koll. g. II. o. t.) |
III. megoldás: Miután a másodfokú egyenlőtlenséget az alakok egyikére hoztuk, a baloldalt függvénynek tekintve, a függvényt ábrázoló paraboláról olvassuk le a megoldást. Ha a függvény zérus-helyei és , akkor 1.) esetén a függvény az intervallumban negatív, és az , és helyeken pozitív. 2.) esetben fordítva. esetén az egyenlőtlenségnek vagy minden érték ‐ az érték kivételével ‐ eleget tesz, vagy egyáltalán nincs megoldás. Ha nincs valós zérushely, akkor vagy minden érték felel meg, vagy egy sem. Ezek alapján jelen esetünkben:
Reichlin Viktor (Bp. V., Piarista g. II. o. t.) |
|