Kezdőlap


Feladat:	2. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Aszód, Petőfi g. szakköre , Avakunovics D. , Balatoni F. , Bárdos A. , Barta I. , Beke Éva és Mária , Beleznay Ferenc , Biczó G. , Bp., Fürst S. g. szakköre , Bujdosó A. , Csanády M. , Csernyák L. , Debrecen, 3. sz. vegyip. techn. szakköre , Deseő Z. , Fejes K. , Földeák M. , Grätzer Gy. , Hangay Gy. , Huszár k. , Kézdy P. , Kollár L. , Kovács I. , Kovács L. , Lackner Györgyi , Lászlóffy A. , Marik M. , Miskolci tanítóképző szakköre , Miskovszky Gy. , Nagy E. , Nagykanizsa, Irányi Dániel g. szakköre , Németh L. , Quittner P. , Radnai J. , Rédei A. , Reichlin V. , Roboz Ágnes , Sántha E. , Schmidt E. , Sohár P. , Szepesi J. , Szűcs J. , Tahy P. , Tomor B. , Várnai L.
Füzet:	1952/szeptember, 14 - 15. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Mozgással kapcsolatos szöveges feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1952/február: 2. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Mivel a gyors kétszeres sebességgel haladva a személyt az út végén fogja be, azért a személy az út felénél van, mikor a gyors indul és mikor a személy, az út $2 / 3$ -részét tette meg a gyors az út $1 / 3$ -részét futotta be. Innen kezdve a gyors sebessége már négyszerese a személyvonat sebességének. Tehát az $A B$ távolságot egységnek tekintve és $x$ -szel jelölve a személyvonat útját, melyet műszaki hibával tesz meg az utolérés pillanatáig:

\begin{matrix} \frac{2}{3} + x = \frac{1}{3} + 4 x, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} 3 x = \frac{1}{3}, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} x = \frac{1}{9} . \end{matrix}

Mivel a műszaki hiba bekövetkezésekor a személyvonatnak már csak az út

\frac{1}{3}

-része volt hátra, azért az utolérés pillanatában már csak az út

\frac{1}{3} - \frac{1}{9} = \frac{2}{9}

-része választja el a

B

-től és ez a feladat szerint

27 1 / 9 = \frac{244}{9}

km. Tehát

A B = \frac{244}{9} \cdot \frac{9}{2} = 122

km.

Beleznay Ferenc (Bp. V., Piarista g. I. o. t.)

Megjegyzés: Látjuk tehát, hogy a megoldáshoz magukra a sebességekre nincs is szükség, elég a sebességek arányát ismerni.

II. megoldás: Legyen az

A B

távolság

x

km. Az

idő = \frac{ú t}{sebesség}

képlettel állítjuk fel az egyenletet. A gyors ideje indulástól az utolérésig a feladat szerint

\frac{x - \frac{244}{9}}{60}

óra. Ugyanezen idő alatt a személyvonat, mely a gyors indulásakor már

\frac{x}{2}

km-t megtett, megtesz

\frac{2 x}{3} - \frac{x}{2}

km-t

30

km-es sebességgel és

\frac{x}{3} - \frac{244}{9}

km-t

15

km-es sebességgel és így ideje:

\begin{matrix} \frac{\frac{2 x}{3} - \frac{x}{2}}{30} + \frac{\frac{x}{3} - \frac{244}{9}}{15} óra. \end{matrix}

Tehát

\begin{matrix} \frac{x - \frac{244}{9}}{60} = \frac{\frac{2 x}{3} - \frac{x}{2}}{30} + \frac{\frac{x}{3} - \frac{244}{9}}{15} . \end{matrix}

Az elsőrendű törteket eltávolítva:

\begin{matrix} x - \frac{244}{9} = \frac{4 x}{3} x + \frac{4 x}{3} - 4 \frac{244}{9}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} \frac{8 x}{3} - 2 x = 3 \cdot \frac{244}{9}, \\ \frac{2 x}{3} = \frac{244}{3}, \end{matrix}

miből

\begin{matrix} x = 122. \end{matrix}

Lackner Györgyi (Bp. XIII., 1. sz. textilip. techn. I. o. t.)