Kezdőlap


Feladat:	F.3009	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Gombos László
Füzet:	1994/december, 500. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek egybevágósága, Háromszögek hasonlósága, Algebrai átalakítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1994/március: F.3009

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) Tegyük fel először, hogy $A_{1} A_{4}$ , $A_{2} A_{5}$ és $A_{3} A_{6}$ egy pontban metszik egymást. Az 1. ábrán ez az $M$ pont. Az $A_{1} A_{2} M$ és $A_{5} A_{4} M$ háromszögek hasonlóak, mert az ábrán $α$ -val jelölt szögek egy íven nyugvó kerületi szögek, $M$ -nél pedig csúcsszögek vannak. Ezért $\frac{A_{1} A_{2}}{A_{4} A_{5}} = \frac{A_{2} M}{A_{4} M}$ . Hasonlóan láthatjuk, hogy $\frac{A_{5} A_{6}}{A_{2} A_{3}} = \frac{A_{6} M}{A_{2} M}$ és $\frac{A_{3} A_{4}}{A_{6} A_{1}} = \frac{A_{4} M}{A_{6} M}$ . A három összefüggés szorzatából:

\begin{matrix} \frac{A_{1} A_{2} \cdot A_{3} A_{4} \cdot A_{5} A_{6}}{A_{2} A_{3} \cdot A_{4} A_{5} \cdot A_{6} A_{1}} = \frac{A_{2} M \cdot A_{6} M \cdot A_{4} M}{A_{4} M \cdot A_{2} M \cdot A_{6} M} = 1, tehát \end{matrix}

\begin{matrix} A_{1} A_{2} \cdot A_{3} A_{4} \cdot A_{5} A_{6} = A_{2} A_{3} \cdot A_{4} A_{5} \cdot A_{6} A_{1} . \end{matrix}

b) Tegyük föl ezután, hogy (1) teljesül. Legyen az

A_{1} A_{4}

és

A_{2} A_{5}

szakaszok közös pontja

M

(2. ábra). Mivel a hatszög konvex, az

A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5}

ötszög is konvex, így ennek belső pontja

M

. Ezért az

A_{3} M

egyenes az

A_{1} A_{5}

szakaszt egy belső pontjában metszi. Az

A_{3} M

-nek a körrel való második metszéspontját jelöljük

B

-vel. Az előbbi megállapítás következtében

B

és

A_{6}

A_{1} A_{5}

egyenesnek ugyanabban a félsíkjában van, és ezért az

α

-val jelölt szögek egyenlők. Az

A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5} B

olyan körbe írt konvex hatszög, amelyre az a) részben bizonyítottak szerint:

\begin{matrix} A_{1} A_{2} \cdot A_{3} A_{4} \cdot A_{5} B = A_{2} A_{3} \cdot A_{4} A_{5} \cdot B A_{1} . \end{matrix}

(2) és (1) hányadosából:

\begin{matrix} \frac{A_{5} B}{A_{5} A_{6}} = \frac{B A_{1}}{A_{6} A_{1}} . \end{matrix}

Tekintve, hogy az utóbbi arányon kívül az

α

-val jelölt szögek is megegyeznek, az

A_{1} B A_{5}

és

A_{1} A_{6} A_{5}

háromszögek hasonlók. Mivel a harmadik oldal mindkét háromszögben

A_{1} A_{5}

, a hasonlóság aránya 1, tehát a két háromszög egybevágó. A körüljárás irányát is figyelembe véve következik, hogy a

B

pont és az

A_{6}

azonos, tehát

A_{1} A_{4}

A_{2} A_{5}

és

A_{3} A_{6}

egy ponton mennek keresztül.

Gombos László (Zalaegerszeg, Zrínyi M. Gimn., IV. o. t.)