Kezdőlap


Feladat:	F.3005	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1994/december, 497 - 498. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Racionális számok és tulajdonságaik, Ellenpélda, mint megoldási módszer a matematikában, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1994/március: F.3005

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Nem, elég egyetlen ellenpédát mutatni.
Vegyük észre, hogy ha a csúcsokhoz írt számok $\frac{a}{2^{b}}$ alakúak voltak, akkor a lépések során ez nem változik. Ha ugyanis $\frac{a}{2^{b}}$ és $\frac{v}{2^{d}}$ két szomszédos szám, akkor ezek helyére az

\begin{matrix} \frac{\frac{a}{2^{b}} + \frac{c}{2^{d}}}{2} = \frac{a \cdot 2^{d} + c \cdot 2^{b}}{2^{b + d + 1}} \end{matrix}

számot írhatjuk, ami szintén hasonló alakú.
Legyen a kiindulási számok egyike 1, a többi pedig 0. (1 is és 0 is

\frac{a}{2^{b}}

alakú.) Mivel az eljárásból következik, hogy a 10 szám összege mindig ugyanakkora lesz, azt kellene elérnünk, hogy mindegyik szám

\frac{1}{10}

legyen. Mivel azonban az

\frac{1}{10}

nem

\frac{a}{2^{b}}

alakú, azért ez nem lehetséges. (

\frac{1}{10} = \frac{a}{2^{b}}

esetén

2^{b} = 5 \cdot 2 a

lenne, de

2^{b}

nem osztható 5-tel.)