Kezdőlap


Feladat:	F.3004	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1994/december, 496 - 497. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális egyenletek, Paraméteres egyenletek, Függvényvizsgálat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1994/március: F.3004

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Mivel a jobb oldal pozitív, a négyzetgyök függvény monotinitása miatt szükséges, hogy $a > 0$ legyen. Az egyenletben szereplő mennyiségek pedig akkor értelmesek, ha $x \geq a$ .
Rendezzük $\sqrt[]{x - a}$ -t a jobb oldalra, majd emeljünk négyzetre, mivel mindkét oldal azonos előjelű, ez ekvivalens átalakítás:

\begin{matrix} \sqrt[]{x} & = 2 + \sqrt[]{x - a} \\ x & = 4 + 4 \sqrt[]{x - a} + x - a . \end{matrix}

Újra rendezve:

\begin{matrix} a - 4 = 4 \sqrt[]{x - a} . \end{matrix}

Mivel a jobb oldal nemnegatív, szükséges, hogy

a \geq 4

teljesüljön. Ebben az esetben viszont újra négyzetre emelve (ami szintén ekvivalens átalakítás) megoldást kapunk az egyenletre:

\begin{matrix} a^{2} - 8 a + 16 & = 16 (x - a) \\ x & = \frac{a^{2} + 8 a + 16}{16} = {(\frac{a + 4}{4})}^{2} \end{matrix}

(Az

x \geq a

feltétel teljesül, mert

x - a = \frac{{(a - 4)}^{2}}{16}

.) Az egyenletek tehát

a \geq 4

esetén van megoldása.
II. megoldás. Az előző megoldáshoz hasonlóan megállapíthatjuk, hogy

a > 0

és

x \geq a

.
Szorozzuk meg és osszuk el a bal oldalt

(\sqrt[]{x} - \sqrt[]{x - a})

-val, ami pozitív:

\begin{matrix} \frac{(\sqrt[]{x} - \sqrt[]{x - a}) (\sqrt[]{x} + \sqrt[]{x - a})}{(\sqrt[]{x} + \sqrt[]{x - a})} & = 2 \\ \frac{a}{\sqrt[]{x} + \sqrt[]{x - a}} & = 2. \end{matrix}

A bal oldalon álló függvény szigorúan monoton fogy,

x = a

-ban értéke

\sqrt[]{a}

+ \infty

-ben 0-hoz tart. Mivel pedig folytonos, Bolzano tétele alapján az értékkészlete a

(0, \sqrt[]{a}]

intervallum. Ez az intervallum pontosan akkor tartalmazza a 2-t, ha

\sqrt[]{a} \geq 2

, azaz

a \geq 4

.
Az egyenletnek tehát

a \geq 4

esetén van megoldása.