Használjuk az ábra jelöléseit. Az $A$ és $B$ pontokat úgy vettük fel, hogy $OA=OB=d$, az $R$ és $S$ pontokra pedig $OR=OS=\frac{d}{2}$.
Az első síknegyedben az $AB$ szakasz pontjai lesznek a keresett pontok, hiszen $AB$ tetszőleges $P$ pontjára $P{P}_1+P{P}_2=d$. Nyilvánvaló, hogy az $OAB▵$ egy belső $T_1$ pontjára a távolságösszeg kisebb, valamilyen külső $T_2$ pontra pedig nagyobb, mind $d$. A harmadik síknegyedben a keresett pontok egy $O$ középpontú $\frac{d}{2}$ sugarú negyedkörív pontjai lesznek, hiszen pl. a $Q$ pontnak a derékszöget bezáró mindkét félegyenestől való távolsága $OQ$, és ha $Q$ rajta van az említett köríven, akkor $OQ+OQ=d$. Ismét nyilvánvaló, hogy a körívre nem illeszkedő $Q_1$, illetve $Q_2$ harmadik negyedbeli pontokra nem teljesül a feltétel.
A második és negyedik síknegyed szimmetrikus szerepű. Legyen $X$ a feltételnek megfelelő pont a második negyedben, jelöljük az $OB$ félegyenestől való távolságát $d_1$-gyel, $O$-tól való távolságát $d_2$-vel. Az $e$ egyenest $OB$-vel párhuzamosan, tőle $d$ távolságra húztuk. Ezért az $X$ pont $e$-től $d-d_1=d_2$ távolságra van; ez pontosan azt jelenti, hogy $X$ illeszkedik az $O$ gyújtópontú és $e$ vezéregyenesű parabolának a második negyedbe eső ívére. (A parabola definíciójából következik, hogy a második negyednek e parabolaíven kívüli pontjai nem felelnek meg.)
Tehát a kívánt tulajdonságú pontok a síkon egy zárt görbét alkotnak, amely egy szakaszból, egy negyedkörívből és két parabolaívből áll.