Az $a$, $b$ és $a+b$ számok közül legalább az egyik páros. Ha ugyanis $a$ és $b$ páratlan, akkor $a+b$ két páratlan szám összege, tehát páros. Ha (a páros) $ab\left(a+b\right)$ és az $n$ relatív prímek, akkor $n$ biztosan páratlan.
Páros $n$-hez tehát nem találhatók megfelelő $a$ és $b$ számok.
Ha $n$ páratlan, akkor például $a=b=1$ megfelelő, mert $ab\left(a+b\right)=2$ relatív prím $n$-nel.
Ha azt is kikötjük, hogy $a-b$ ne legyen osztható $n$-nel, akkor $n$ nem lehet 1, hiszen az 1 minden számnak osztója.
Ha $n$ egy 3-nál nagyobb páratlan szám, akkor például $a=2$, $b=n-1$ megfelelők, mert $ab\left(a+b\right)=2\left(n-1\right)\left(n+1\right)$ mindegyik tényezője relatív prím $n$-hez (s szomszédos egész számok relatív prímek), és $a-b=3-n$ nem osztható $n$-nel, mert $n$-nel osztva 3 maradékot ad.
Ha viszont $n=3$, akkor $a$ és $b$ egyike sem lehet osztható 3-mal, de azonos maradékot sem adhatnak 3-mal osztva a $3\nmid \left(a-b\right)$ feltétel miatt. Ez pedig csak úgy lehetséges, ha egyikük 1, a másik 2 maradékot ad. Ebben az esetben azonban $a+b$ osztható 3-mal. Tehát $n=3$ esetén sincsenek megfelelő $a$, $b$ számok.
A válasz a feladat kérdésére: az első esetben páratlan pozitív, a második esetben a 3-nál nagyobb páratlan $n$-ekhez létezik megfelelő $a$ és $b$.