Kezdőlap


Feladat:	F.2983	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Hüber Erik , Nagy Viktor , Ódor Lajos , Tóth László , Valkó Benedek
Füzet:	1994/október, 358 - 359. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Geometriai egyenlőtlenségek, Derékszögű háromszögek geometriája, Súlyvonal, Hatványközepek közötti egyenlőtlenség, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1993/november: F.2983

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Először a bal oldali egyenlőtlenséget igazoljuk. Az ábra $A S B ▵$ -éből a háromszögegyenlőtlenség szerint $c < \frac{2}{3} s_{a} + \frac{2}{3} s_{b}$ , ezért $\frac{2}{3} c < s_{a} + s_{b}$ .
Az $A C F ▵$ -ből $\frac{a^{2}}{4} + b^{2} = s_{a}^{2}$ , az $E C B ▵$ -ből pedig $\frac{b^{2}}{4} + a^{2} = s_{b}^{2}$ . E két egyenlőséget összeadva: $\frac{5}{4} (a^{2} + b^{2}) = s_{a}^{2} + s_{b}^{2}$ , és mivel $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ , azért $\frac{5}{4} \cdot c^{2} = s_{a}^{2} + s_{b}^{2}$ . Ezt így is írhatjuk:

\begin{matrix} \frac{\sqrt[]{10}}{4} c = \sqrt[]{\frac{s_{a}^{2} + s_{b}^{2}}{2}} . \end{matrix}

A számtani és a négyzetes közép közötti összefüggés szerint

\frac{s_{a} + s_{b}}{2} \leq \sqrt[]{\frac{s_{a}^{2} + s_{b}^{2}}{2}}

, ezért az utolsó két összefüggésből

\frac{s_{a} + s_{b}}{2} \leq \frac{\sqrt[]{10}}{4} c

, ami ekvivalens a jobb oldali egyenlőtlenséggel.

Ódor Lajos (Révkomárom, Magyar Tannyelvű Gimn., IV. o. t.)