Kezdőlap


Feladat:	F.2982	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	1994/október, 358. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Logaritmusos egyenletek, Függvényvizsgálat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1993/november: F.2982

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az egyenlet akkor értelmes, ha mindhárom logaritmus argumentuma pozitív, vagyis $x > 3$ (ilyenkor $x^{5} - 24 > 3^{5} - 24 > 0$ is teljesül).
A $(3, \infty)$ félegyenesen a bal oldal szigorúan monoton nő, mert mindkét logaritmus alapja 1-nél nagyobb. A jobb oldalon pedig, mivel $x^{5} - 24$ és a 10-es alapú logaritmus szigorúan monoton nő, a $3 - lg (x^{5} - 24)$ kifejezés szigorúan monoton fogy. Mivel pedig egy szigorúan monoton növő és egy szigorúan monoton fogyó függvény értéke legfeljebb csak egy helyen egyezhet meg, az egyenletnek legfeljebb egy megoldása lehet.
Behelyettesítéssel ellenőrizhető, hogy ez a megoldás az $x = 4$ :

\begin{matrix} log_{19} (4 - 3) + log_{93} (4 - 3) = log_{19} 1 + log_{93} 1 = 0 + 0 = 0 \end{matrix}

és

\begin{matrix} 3 - lg (4^{5} - 24) = 3 - lg 1000 = 3 - 3 = 0. \end{matrix}