Kezdőlap


Feladat:	F.2981	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Arató Gabriella , Németh Zoltán , Nokl András , Raisz Dávid
Füzet:	1994/május, 264 - 265. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Másodfokú diofantikus egyenletek, Trigonometriai azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1993/november: F.2981

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $a = ctg α$ és $b = ctg β$ . A kotangens függvény addíciós tétele szerint:

\begin{matrix} ctg (α + β) = \frac{ctg α \cdot ctg β - 1}{ctg α + ctg β} = \frac{a b - 1}{a + b} . \end{matrix}

A feladat megoldásához tehát elegendő megmutatni, hogy az

\begin{matrix} \frac{a b - 1}{a + n} = \frac{2}{5} \end{matrix}

egyenletnek nincs egész számokból álló megoldása.
Szorozzuk meg mindkét oldalt

25 (a + b)

-vel, és alakítsuk át az egyenletet a következőképpen:

\begin{matrix} 25 a b - 25 & = 10 a + 10 b, \\ 25 a b - 10 a - 10 b + 4 & = 29, \\ (5 a - 2) (5 b - 2) & = 29. \end{matrix}

A 29 tehát az

5 a - 2

és

5 b - 2

egész számok szorzata. Ez 4-féleképpen lehetséges, ezeket a következő táblázatban foglaltuk össze:

\begin{matrix} 5 a - 2 & 5 b - 2 & a & b \\ I. eset & 1 & 29 & \frac{3}{5} & \frac{31}{5} \\ II. eset & 29 & 1 & \frac{31}{5} & \frac{3}{5} \\ III. eset & - 1 & - 29 & \frac{1}{5} & - \frac{27}{5} \\ IV. eset & - 29 & - 1 & - \frac{27}{5} & \frac{1}{5} \end{matrix}

Látható, hogy egyik esetben sem kaptunk egész megoldásokat.