Feladat: F.2980 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bajszi István ,  Herényi Gergely ,  Izsák Ferenc 
Füzet: 1994/szeptember, 306 - 307. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Diofantikus egyenletek, Szöveges feladatok, Számtani közép, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1993/november: F.2980

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az osztályzatok száma n, összegük s. Az, hogy az átlag 4,5 fölött van, de a 4,51-ot nem éri el, azt jelenti, hogy

4,5<sn<4,51.
Szorozzuk meg az egyenlőtlenség mindkét oldalát 2n-nel, és vonjunk ki 9n-et:
9n<2s<9,02n0<2s-9n<0,02n

A középen szereplő 2s-9n egész szám. Az, hogy 0-nál nagyobb, azt jelenti, hogy legalább 1: (1)
1≤2s-9n<0.02n,
amiből
1<0,02n,
azaz
50<n
következik. Mivel n pozitív egész szám (az osztályzatok száma), ez az egyenlőtlenség azt jelenti, hogy n legalább 51.
Ha n=51, akkor meg lehet választani az osztályzatokat úgy, hogy a feltétel teljesüljön. Ha például valaki 26 darab 5-öst és 25 darab 4-est kap, akkor az átlaga:
26⋅5+25⋅451=23051≈4.5098.

A 4,5 és 4,51 közé eső átlaghoz tehát legalább 51 osztályzat szükséges. (Egyébként igen ritka, hogy valakinek ennyi jegye legyen egy félévben!)
Herényi Gergely (Budapest, József A. Gimn., III. o. t.)

Megjegyzés. Az n nem lehet bármilyen, 50-nél nagyobb szám. Ha ugyanis n páros, akkor 2s-9n pozitív páros szám, így (1) helyett a
2≤2s-9n<0,02n,
ebből pedig a
100<n
egyenlőtlenséget kaptjuk. Az 50-nél nagyobb páratlan, illetve 100-nál nagyobb páros n-ek viszont már valamennyien lehetségesek, mert ilyenkor s értékét meg lehet választani úgy, hogy 2s-9n=1, illetve 2s-9n=2 legyen. Páratlan n esetén például n+12 darab 5-ös és n-12 darab 4-es, páros n esetén n2+1 darab 5-ös és n2-1 darab 4-es osztályzattal előállítható a kívánt átlag.