|
Feladat: |
F.2978 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Burcsi Péter , Halász György , Hegedűs Márton , Kiss Zoltán , Kucsera Judit , Makai Márton , Pap Gyula , Sági Krisztián , Szobonya László , Újváry-Menyhárt Mónika , Valkó Benedek |
Füzet: |
1994/április,
208 - 209. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Háromszögek hasonlósága, Függvényvizsgálat, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Súlypont, Terület, felszín, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1993/október: F.2978 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Jelöljük a szabályos háromszög súlypontját -sel, területét -vel. Használjuk az ábra további jelöléseit. Az egyenes párhuzamos az oldallal, ezért az és az hasonló, és a hasonlóság aránya . Ezért . Így az egyenes és területű részekre osztja a háromszöget, amiért 1.ábra Forgassuk el az egyenest egy szöggel. Legyen az elforgatott egyenes , ennek az és oldalakkal való metszéspontja , illetve . Húzzunk párhuzamost az ponton át a oldallal. Ez az szakaszt egy belső pontjában metszi. Mivel , az és területe egyenlő, azért az területe éppen az területével több, mint az területe. Ugyanennyivel kevesebb az négyszög területe, mint az négyszögé. Így (1)-et fölhasználva: Az is világos, hogy a (2) jobb oldalán lévő tört a esetében egybeesik -sel, és a részek területének aránya 1. Ezért (2) alapján: Az egyenest tovább forgatva az -vel párhuzamos helyzetig, a területek aránya most 1 és között lesz. A keresett arány tehát a intervallumban van.
Makai Márton (Debrecen, Fazekas M. Gimn., II. o.t.) dolgozata alapján | Megjegyzés Több megoldónk valamilyen paraméter függvényében fölírta a részek területét, és meghatározta a területarány szélsőértékeit.
|
|