Kezdőlap


Feladat:	F.2978	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Burcsi Péter , Halász György , Hegedűs Márton , Kiss Zoltán , Kucsera Judit , Makai Márton , Pap Gyula , Sági Krisztián , Szobonya László , Újváry-Menyhárt Mónika , Valkó Benedek
Füzet:	1994/április, 208 - 209. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Függvényvizsgálat, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Súlypont, Terület, felszín, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1993/október: F.2978

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a szabályos háromszög súlypontját $S$ -sel, területét $t$ -vel. Használjuk az ábra további jelöléseit. Az $e$ egyenes párhuzamos az $A B$ oldallal, ezért az $A B C △$ és az $M N C △$ hasonló, és a hasonlóság aránya $\frac{2}{3}$ . Ezért $t_{M N C} = \frac{4}{9} t$ . Így az $e$ egyenes $\frac{4}{9} t$ és $\frac{5}{9} t$ területű részekre osztja a háromszöget, amiért

\begin{matrix} \frac{t_{M N C}}{t_{A B N M}} = \frac{4}{5} . \end{matrix}

1.ábra

Forgassuk el az

e

egyenest egy

α < 30^{\circ}

szöggel. Legyen az elforgatott egyenes

e'

, ennek az

A C

és

B C

oldalakkal való metszéspontja

X

, illetve

Y

. Húzzunk párhuzamost az

M

ponton át a

B C

oldallal. Ez az

S X

szakaszt egy belső

Z

pontjában metszi. Mivel

M S = S N

, az

M Z S △

és

S N Y △

területe egyenlő, azért az

X Y C △

területe éppen az

X Z M △

területével több, mint az

M N C △

területe. Ugyanennyivel kevesebb az

A B Y X

négyszög területe, mint az

A B N M

négyszögé. Így (1)-et fölhasználva:

\begin{matrix} \frac{4}{5} \leq \frac{t_{X Y C}}{t_{A B Y X}} . \end{matrix}

Az is világos, hogy a (2) jobb oldalán lévő tört a

0 \leq α \leq 30^{\circ}

esetében

e'

egybeesik

A S

-sel, és a részek területének aránya 1. Ezért (2) alapján:

\begin{matrix} \frac{4}{5} \leq \frac{t_{X Y C}}{t_{A B Y X}} \leq 1. \end{matrix}

e'

egyenest tovább forgatva az

A C

-vel párhuzamos helyzetig, a területek aránya most 1 és

\frac{4}{5}

között lesz. A keresett arány tehát a

[\frac{4}{5}; \frac{5}{4}]

intervallumban van.

Makai Márton (Debrecen, Fazekas M. Gimn., II. o.t.) dolgozata alapján

Megjegyzés Több megoldónk valamilyen paraméter függvényében fölírta a részek területét, és meghatározta a területarány szélsőértékeit.