Kezdőlap


Feladat:	F.2974	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Farkas Illés , Maróti Attila , Puskás Zsolt
Füzet:	1994/április, 204. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Abszolútértékes egyenletek, Trigonometrikus egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1993/október: F.2974

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ahhoz, hogy a bal oldal értelmezett legyen, ki kell kötnünk, hogy $x \neq k π + \frac{π}{2}$ , illetve $x \neq k π$ , azaz $cos x \neq 0$ és $sin x \neq 0$ .
Írjunk $tg x$ és $cotg x$ helyére $\frac{sin x}{cos x}$ -et, illetve $\frac{cos x}{sin x}$ -et és rendezzük az egyenletet:

\begin{matrix} \begin{matrix} \frac{2}{\sqrt[]{1 + {(\frac{sin x}{cos x})}^{2}}} + \frac{1}{\sqrt[]{1 + {(\frac{cos x}{sin x})}^{2}}} & = sin x \\ \frac{2 \sqrt[]{cos^{2} x}}{\sqrt[]{cos^{2} x + sin^{2} x}} + \frac{\sqrt[]{sin^{2} x}}{\sqrt[]{sin^{2} x + cos^{2} x}} & = sin x, \\ 2 | cos x | + | sin x | & = sin x . \end{matrix} \end{matrix}

Mivel a bal oldal nemnegatív, a jobb oldal is az:

sin x \geq 0

. Ebben az esetben viszont

| sin x | = sin x

és így

\begin{matrix} 2 | cos x | = 0, azaz cos x = 0. \end{matrix}

Kikötöttük, hogy

cos x \neq 0

, az egyenlet tehát egyetlen valós

x

-re sem teljesül.
Megjegyzés. Nagyon sokan elkövették azt a hibát, hogy

\sqrt[]{cos^{2} x}

és

\sqrt[]{sin^{2} x}

helyére, az előjelek vizsgálata nélkül

cos x

-et és

sin x

-et írtak.