Kezdőlap


Feladat:	F.2972	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Baksa Klára , Maróti Attila , Németh Ákos , Németh Zoltán
Füzet:	1994/április, 201 - 202. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Geometriai egyenlőtlenségek, Magasságvonal, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Heron-képlet, Háromszög-egyenlőtlenség alkalmazásai, Tengelyes tükrözés, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1993/szeptember: F.2972

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A szokásos jelöléseket használva a számtani és a mértani közép közötti egyenlőtlenség alapján:

\begin{matrix} \sqrt[]{(s - b) (s - c)} \leq \frac{s - b + s - c}{2} = \frac{a}{2} . \end{matrix}

A Heron-formula szerint:

\begin{matrix} t = \frac{a \cdot m_{a}}{2} = \sqrt[]{s (s - a) (s - b) (s - c)} \leq \sqrt[]{s (s - a)} \cdot \frac{a}{2}, \end{matrix}

amiből

m_{a} \leq \sqrt[]{s (s - a)}

.

Hasonlóan kapjuk, hogy

m_{b} \leq \sqrt[]{s (s - b)}

és

m_{c} \leq \sqrt[]{s (s - c)}

. A magasságokra kapott egyenlőtlenségekből:

\begin{matrix} m_{a}^{2} + m_{b}^{2} + m_{c}^{2} \leq s (s - a + s - b + s - c) = s^{2}, \end{matrix}

amit bizonyítani kellett.
II. megoldás. Az ábra

B'

pontját úgy kaptuk, hogy az

A

ponton átmenő,

B C

-vel párhuzamos egyenesre tükröztük a

B

csúcsot. Ezért

B'

távolsága a

B C

oldaltól

2 m_{a}

, és

B' C = \sqrt[]{4 m_{a}^{2} + a^{2}}

. A háromszög-egyenlőtlenség szerint

\sqrt[]{4 m_{a}^{2} + a^{2}} \leq b + B' A = b + c

, amiből

4 m_{a}^{2} \leq {(b + c)}^{2} - a^{2}

. Hasonlóan kapjuk, hogy

\begin{matrix} 4 m_{b}^{2} & \leq (a + c)^{2} - b^{2} és \\ 4 m_{c}^{2} & \leq (a + b)^{2} - c^{2} . \end{matrix}

A három egyenlőtlenséget összeadva:

\begin{matrix} 4 m_{a}^{2} + 4 m_{b}^{2} + 4 m_{c}^{2} \leq (b + c)^{2} + (a + c)^{2} + (a + b)^{2} - a^{2} - b^{2} - c^{2} = 4 s^{2}, \end{matrix}

amiből következik a feladat állítása.