Kezdőlap


Feladat:	F.2971	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Bámer Balázs , Barta Tünde , Bodon Ferenc , Farkas Péter , Horváth István , Koblinger Egmont , Nagy Gábor , Németh Á. , Ódor Lajos , Rákóczi Bálint , Somogyi Balázs , Szádeczky-Kardoss Szabolcs , Szarvas Ferenc , Szász Nóra , Tóth László , Vecsera Gábor
Füzet:	1994/március, 118 - 119. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Súlyvonal, Magasságvonal, Szögfelező egyenes, Trigonometrikus egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1993/szeptember: F.2971

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Jelöljük $A$ -val azt a csúcsot, amelyből húzott nevezetes vonalak a szöget 4 egyenlő részre osztják. Az $A B$ és $A C$ oldalak nyilván különböző hosszúságúak, ezért feltehetjük, hogy $A B < A C$ . A magasság, a szögfelező és a súlyvonal metszéspontja a $B C$ oldallal legyen $M, F, S$ . Az $A B < A C$ feltevés miatt a pontok sorrendje a $B C$ oldalon: $B, M, F, S, C$ . Az ábra további jelöléseit használva, $M B A ∢ = 90^{\circ} - α$ , $A C M ∢ = 90^{\circ} - 3 α$ .
A szinusztétel alapján:

\begin{matrix} \frac{A S}{B S} & = \frac{sin (90^{\circ} - α)}{sin 3 α} és \\ \frac{A S}{S C} & = \frac{sin (90^{\circ} - 3 α)}{sin α} . \end{matrix}

Ezekből ─ tekintve, hogy

B S = S C

─

\begin{matrix} \frac{sin (90^{\circ} - α)}{sin 3 α} = \frac{sin (90^{\circ} - 3 α)}{sin α}, \end{matrix}

és így

sin α \cdot cos α = sin 3 α \cdot cos 3 α

. Ezt az egyenletet 2-vel szorozva:

sin 2 α = sin 6 α

. Az

A M C

háromszögből láthatjuk, hogy

3 α < 90^{\circ}

, tehát

α < 30^{\circ}

, ezért utóbbi egyenletünkből

6 α = 2 α

, vagy

6 α = 180^{\circ} - 2 α

, és így

α = 0^{\circ}

vagy

α = 22, 5^{\circ}

. Az

α = 0^{\circ}

nem ad megoldást. A háromszög szögei:

90^{\circ},67, 5^{\circ}

és

22, 5^{\circ}

.
II. megoldás. Ismeretes, hogy a háromszög egyik szögfelezője és a szög csúcsával szemközti oldal felezőmerőlegese a körülírt körön metszik egymást. Az ábrán ez a pont

T

. Könnyű belátni, hogy

F T S ∢ = M A F ∢ = α

, ezért az

A T S

háromszög egyenlő szárú. De akkor

A T

felező merőlegese átmegy az

S

ponton. Mivel

B C

felező merőlegese is illeszkedik

S

-re, az

S

pont a körülírt kör középpontja. Ezért a Thalész-tétel szerint

4 α = 90^{\circ}

, és így a háromszög szögei

90^{\circ}; 67, 5^{\circ}

és

22, 5^{\circ}

Rákóczi Bálint (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., IV. o. t)