Kezdőlap


Feladat:	F.2970	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1994/március, 117 - 118. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számsorozatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1993/szeptember: F.2970

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen tetszőleges $0 \leq n \leq 75$ -re $S (n) = a_{n + 1} + a_{n + 2} + ... + a_{n + 25}$ . Azt kell igazolnunk, hogy $S$ felveszi az 1 értéket.
Először $S$ néhány egyszerű tulajdonságára mutatunk rá.
I. $S$ értéke mindig páratlan, mert páratlan sok (huszonöt) páratlan szám összege.
II. $S$ sohasem 0, hiszen a 0 nem páratlan szám.
III. Ha $0 \leq n \leq 74$ , akkor $S (n)$ és $S (n + 1)$ különbsége legfeljebb 2. Ez azért igaz, mert

\begin{matrix} | S (n) - S (n + 1) | = | a_{n + 1} - a_{n + 26} | \leq | a_{n + 1} | + | a_{n + 26} | = 2. \end{matrix}

IV.

S

egyaránt felvesz pozitív és negatív értéket is. Ez egyszerűen következik abból, hogy

\begin{matrix} S (0) + S (25) + S (50) + S (75) = a_{1} + a_{2} + ... + a_{100} = 0. \end{matrix}

Tekintsük most

S

-nek két olyan, szomszédos helyen vett értékét, amelyek ellentétes előjelűek (ha ilyen szomszédos helyen nem léteznek, akkor

S

miden értéke azonos előjelű lenne). Ezek közül a pozitív legalább

+ 1

, a negatív legfeljebb

- 1

, de a különbségük legfeljebb 2. Ez csak úgy lehetséges, ha a két érték pontosan

+ 1

és

- 1

.
Ezzel az állítást igazoltuk.