Kezdőlap


Feladat:	F.2969	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1994/április, 199 - 201. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Mértani sorozat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1993/szeptember: F.2969

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a sorozat első eleme $a_{1}$ , hányadosa $q$ . A mértani sorozat összegképlete szerint tetszőleges $n$ pozitív egészre:

\begin{matrix} S_{n} = {\begin{matrix} n a_{1}, & haq = 1; \\ a_{1} \frac{q^{n} - 1}{q - 1}, & haq \neq 1 . \end{matrix} \end{matrix}

q = 1

, akkor az állítás a következő:
Ha

\begin{matrix} 200 a_{1} + 1 = (100 a_{1} + 1)^{2}, \end{matrix}

akkor

\begin{matrix} 600 a_{1} + 1 = (300 a_{1} + 1)^{2} . \end{matrix}

A négyzetreemeléseket elvégezve látható, hogy (1) és (2) egyaránt az

a_{1} = 0

összefüggéssel ekvivalens.
Ha

q \neq 1

, akkor az állítás a következő alakban írható fel:
Ha

\begin{matrix} a_{1} \frac{q^{200} - 1}{q - 1} + 1 = {(a_{1} \frac{q^{100} - 1}{q - 1} + 1)}^{2}, \end{matrix}

akkor

\begin{matrix} a_{1} \frac{q^{600} - 1}{q - 1} + 1 = {(a_{1} \frac{q^{300} - 1}{q - 1} + 1)}^{2} . \end{matrix}

Legyen

h = \frac{a_{1}}{q - 1}

. Ezt behelyettesítve (3)-ba és rendezve:

\begin{matrix} \begin{matrix} h (q^{200} - 1) + 1 = {(h (q^{100} - 1) + 1)}^{2} \\ h (q^{100} - 1) (q^{100} +) + 1 = h^{2} {(q^{100} - 1)}^{2} + 2 h (q^{100} - 1) + 1 \\ h (q^{100} - 1) (h (q^{100} - 1) + 2 - (q^{100} + 1)) = 0 \end{matrix} \end{matrix}

\begin{matrix} h (h - 1) (q^{100} - 1)^{2} = 0. \end{matrix}

(3')

Mivel ezek ekvivalens átalakítások, (3) és (3') ekvivalensek. Ha ugyanezeket elvégezzük (4)-gyel is, a következőt kapjuk:

\begin{matrix} h (h - 1) {(q^{300} - 1)}^{2} = 0. \end{matrix}

(4')

Ebből azonban kiemelhető (3'):

\begin{matrix} h (h - 1) (q^{100} - 1)^{2} (q^{200} + q^{100} + 1)^{2} = 0. \end{matrix}

Ezzel az állítást bebizonyítottuk.

Megjegyzések.
1. Az állítás megfordítása is igaz (legalábbis a valós számok körében), mert

q^{200} + q^{100} + 1

mindig pozitív.
2. A számítások kicsit egyszerűbben is elvégezhetők, ha

S_{200}

-at,

S_{300}

-at és

S_{600}

-at

q^{100}

és

S_{100}

segítségével fejezzük ki. Könnyen ellenőrízhető, hogy

\begin{matrix} S_{200} & = (1 + q^{100}) S_{100}, \\ S_{300} & = (1 + q^{100} + q^{200}) S_{100}, \\ és \\ S_{600} & = (1 + q^{100} + ... + q^{500}) S_{100} . \end{matrix}

Ezek után a feltétel a következőképpen alakítható át:

\begin{matrix} (1 + q^{100}) S_{100} + 1 = (S_{100} + 1)^{2}, \\ S_{100} (S_{100} - q^{100} + 1) = 0. \end{matrix}

Ebből

\begin{matrix} S_{100} = 0 vagy S_{100} = q^{100} - 1. \end{matrix}

S_{100} = 0

, akkor

S_{300} = S_{600} = 0

és az állítás teljesül. Ha

S_{100} = q^{100} - 1

, akkor

S_{300} = q^{300} - 1

és

S_{600} = q^{600} - 1

, amit behelyettesítve könnyen ellenőrízhető az állítás.
3. Az

S_{200} + 1 = (S_{100} + 1)^{2}

feltétel a következő esetekben teljesül (ezt a megoldásból lehet kiolvasni):

a)	A sorozat minden eleme 0;

b)	$a_{1} = q - 1;$

c)	$q = - 1$ .