Kezdőlap


Feladat:	F.2968	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Baksa Klára , Bánhalmi András , Bartha Tünde , Bodó Péter , Dienes Péter , Duzmath Zsolt , Ehreth Imre , Farkas Illés , Farkas Péter , Galácz Ábel , Gröller Ákos , Gyarmati Katalin , György András , Hegedűs Viktor , Hertz István , Izsák Ferenc , Jurek Zoltán , Maróti Attila , Maróti Gábor , Nagy Gábor , Németh Ákos , Németh Zoltán , Rákóczi Bálint , Reppa Zoltán , Séllei Béla , Somogyi Balázs , Szabó Mariann , Szádeczky-Kardoss Szabolcs , Szeredi Tibor , Tugyi Imre , Újváry-Menyhárt Mónika , Váczi Péter , Valkó Benedek
Füzet:	1994/február, 73 - 75. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Cauchy-Schwarz-Bunyakovszkij-féle egyenlőtlenség, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1993/szeptember: F.2968

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Az (1) egyenletből fejezzük ki $x$ -et, és helyettesítsük be (2)-be:

\begin{matrix} x & = 11 - y - z & (1) \\ {(11 - y - z)}^{2} + 2 y^{2} + 3 z^{2} & = 66 \\ 3 y^{2} + 2 y z + 4 z^{2} - 22 y - 22 z + 55 & = 0. & (2) \end{matrix}

Tekintsük ezt egy

y

-ra vonatkozó másodfokú egyenletnek:

\begin{matrix} 3 y^{2} + (2 z - 22) y + (4 z^{2} - 22 z + 55) = 0. & (3) \end{matrix}

Ennek pontosan akkor van megoldása, ha a diszkriminánsa nemnegatív:

\begin{matrix} {(2 z - 22)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (4 z^{2} - 22 z + 55) & \geq 0, \\ - 44 z^{2} + 176 z - 176 & \geq 0, \\ - z^{2} + 4 z - 4 & \geq 0, \\ - {(z - 2)}^{2} & \geq 0. \end{matrix}

Mivel

{(z - 2)}^{2} \geq 0

, ez csak akkor teljesül, ha

(z - 2)^{2} = 0

, azaz

z = 2

. Ekkor (5) alapján

\begin{matrix} 3 y^{2} - 18 y + 27 = 0, \end{matrix}

aminek egyetlen megoldása

y = 3

. Végül

x = 11 - y - z = 6

.
Ezek a számok ki is elégítik az egyenletrendszert.
Megjegyzés. A megoldás úgy is elmondható, hogy (4) bal oldalát négyzetösszeggé alakítjuk:

\begin{matrix} 3 (y + \frac{1}{3} z - \frac{11}{3})^{2} + \frac{11}{3} {(z - 2)}^{2} = 0. \end{matrix}

Ez pontosan akkor teljesül, ha mindkét zárójelben 0 áll:

\begin{matrix} y + \frac{1}{3} z - \frac{11}{3} = 0 és z - 2 = 0, \end{matrix}

vagyis

z = 2

és

y = 3

.
Mivel az (5) egyenletre alkalmazott megoldóképlet pontosan ugyanezen az ötleten alapul, ez a két megoldás lényegében ugyanaz.
II. megoldás. Írjuk fel a súlyozott számtani és négyzetes közép közötti egyenlőtlenséget az

x,2 y,3 z

számokra az

1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}

súlyokkal (Ez az egyenlőtlenség tetszőleges valós számokra is teljesül):

\begin{matrix} \frac{1 \cdot x + \frac{1}{2} \cdot 2 y + \frac{1}{3} \cdot 3 z}{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}} & \leq \sqrt[]{\frac{1 \cdot x^{2} + \frac{1}{2} \cdot {(2 y)}^{2} + \frac{1}{3} \cdot {(3 y)}^{2}}{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}}} \\ \frac{x + y + z}{\frac{11}{6}} & \leq \sqrt[]{\frac{x^{2} + 2 y^{2} + 3 y^{2}}{\frac{11}{6}}}; \end{matrix}

innen (1) és (2) alkalmazásával

\begin{matrix} 6 \leq \sqrt[]{36} . \end{matrix}

Láthatjuk, hogy a két közép egyenlő. Ismeretes, hogy a számtani és a négyzetes közép pontosan akkor egyezik meg, ha a közepekben szereplő számok nemnegatívak és egyenlők, azaz

\begin{matrix} x = 2 y = 3 z > 0. \end{matrix}

Ebből

y = \frac{x}{2}

és

z = \frac{x}{3}

, amit (1)-be behelyettesítve:

\begin{matrix} x + \frac{x}{2} + \frac{x}{3} & = 11, \\ x & = 6, \end{matrix}

\begin{matrix} y = \frac{x}{2} = 3 és z = \frac{x}{3} = 2. \end{matrix}

Megjegyzés. A felhasznált egyenlőtlenség egy átírását, a Cauchy ‐ Schwarz ‐ Bunyakovszkij egyenlőtlenséget is felírhattuk volna az

x, \sqrt[]{2} y, \sqrt[]{3} z,

illetve

1, \frac{1}{\sqrt[]{2}}, \frac{1}{\sqrt[]{3}}

számokkal:

\begin{matrix} {(x \cdot 1 + \sqrt[]{2} y \cdot \frac{1}{\sqrt[]{2}} + \sqrt[]{3} z \cdot \frac{1}{\sqrt[]{3}})}^{2} \leq \\ \leq (x^{2} + (\sqrt[]{2} y)^{2} + (\sqrt[]{3} z)^{2}) \cdot (1^{2} + (\frac{1}{\sqrt[]{2}})^{2} + (\frac{1}{\sqrt[]{3}})^{2}), \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} {(x + y + z)}^{2} \leq \frac{11}{6} (x^{2} + 2 y^{2} + 3 z^{2}) . \end{matrix}

Itt az egyenlőség (ami fennáll) szükséges és elégséges feltétele:

\begin{matrix} x : \sqrt[]{2} y : \sqrt[]{3} z = 1 : \frac{1}{\sqrt[]{2}} : \frac{1}{\sqrt[]{3}} . \end{matrix}

III. megoldás. Vonjuk ki (2)-ből (1) 12-szeresét, és alakítsuk négyzetösszeggé:

\begin{matrix} x^{2} - 12 x + 2 y^{2} - 12 y + 3 z^{2} - 12 z & = - 66, \\ {(x - 6)}^{2} + 2 {(y - 3)}^{2} + 3 {(z - 2)}^{2} & = 0. \end{matrix}

Ez pontosan akkor teljesül, ha

x = 6, y = 3, z = 2