|
Feladat: |
F.2964 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Csergőffy Tibor , Csörnyei Marianna , Dőtsch András , Gyarmati Katalin , Horváth Gábor , Imreh Csanád , K. L. , Maróti Gábor , Megyesi Zoltán , Pete Gábor , Tóth Zoltán |
Füzet: |
1994/április,
197 - 198. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Indirekt bizonyítási mód, Teljes indukció módszere, Rekurzív sorozatok, Sorozatok monotonitása, korlátossága, Függvények monotonitása, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1993/május: F.2964 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Tegyük fel, hogy nem igaz a feladat állítása, vagyis minden valós számra Definiáljuk az sorozatot a következő rekurzióval: Az indirekt feltevés alapján a tetszőleges nemnegatív egész számra:
| | ebből szerinti indukcióval azt kapjuk, hogy Megmutatjuk viszont, hogy az sorozat felülről korlátos. A rekurziót és (1)-et felhasználva:
Mivel , azért az
| |
Az sorozatnak tehát minden eleme kisebb, mint , a sorozat felülről korlátos.
Legyen . Mivel az függvény monoton nő, és minden egészre , Ha most összevetjük (1)-et és (2)-t, ellentmondásra jutunk: | |
Ez az egyenlőtlenség azt állítja, hogy minden 2-hatvány kisebb vagy egyenlő, mint , ami lehetetlen. Az indirekt feltevésből ellentmondásra jutottunk, tehát az állítás igaz. |
|