Kezdőlap


Feladat:	F.2959	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Markót Mihály , Marx Gábor , Nagy Anett , Rónai András
Füzet:	1993/december, 507 - 509. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometriai azonosságok, Szögfelező egyenes, Terület, felszín, Párhuzamos szelők tétele, Koszinusztétel alkalmazása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1993/április: F.2959

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Ábránkon $B E$ párhuzamos az $f_{a}$ szögfelezővel.

Az ábra jelölései szerint

B E = 2 \cdot c \cdot cos \frac{α}{2} .

A párhuzamos szelők tétele alapján

\frac{f_{a}}{B E} = \frac{b}{b + c},

amiből

B E

előbbi kifejezését fölhasználva:

\begin{matrix} cos \frac{α}{2} = \frac{f_{a} (b + c)}{2 b c} . \end{matrix}

(1)

A koszinusztétel szerint

\begin{matrix} a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cdot cos α . \end{matrix}

(2)

Tudjuk, hogy

cos^{2} α = 2 \cdot cos \frac{α}{2} - 1

, ezért (1) és (2)-ből

\begin{matrix} a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cdot (\frac{f_{a} {(b + c)}^{2}}{2 b^{2} c^{2}} - 1) . \end{matrix}

Utóbbi összefüggésünkből

\begin{matrix} f_{a}^{2} & = \frac{b \cdot c}{{(b + c)}^{2}} ({(b + c)}^{2} - a^{2}) = \frac{b \cdot c}{{(b + c)}^{2}} (b + c + a) (b + c - a) = \\ = \frac{b \cdot c}{{(b + c)}^{2}} \cdot 4 s (s - a), \end{matrix}

így

\begin{matrix} f_{a} = \frac{2 \sqrt[]{b c s (s - a)}}{b + c} . \end{matrix}

(3)

A (3)-hoz hasonló képleteket nyerhetünk

f_{b}

-re és

f_{c}

-re is. Tekintsük ezután a szögfelező szakaszok szorzatát:

\begin{matrix} f_{a} \cdot f_{b} \cdot f_{c} = \frac{8 a b c s \sqrt[]{s (s - a) (s - b) (s - c)}}{(a + b) (a + c) (b + c)} . \end{matrix}

Ebből

\begin{matrix} \sqrt[]{s (s - a) (s - b) (s - c)} = \frac{(a + b) (a + c) (b + c) \cdot f_{a} \cdot f_{b} \cdot f_{c}}{8 a b c s}, \end{matrix}

ami a Heron-képlet szerint azt mutatja, hogy a háromszög területe feltételeink mellett racionális.

Rónai András (Budapest, Dózsa Gy. Gimn., IV. o. t.)

II. megoldás. Az első megoldásból (1) szerint

cos \frac{α}{2}

racionális.
Könnyen megmutatható, hogy

sin α

is racionális. Ehhez felhasználjuk a

sin α + sin β + sin γ = 4 \cdot cos \frac{α}{2} \cdot cos \frac{β}{2} \cdot cos \frac{γ}{2}

azonosságot. (Igazolása megtalálható a Geometriai feladatok gyűjteménye II. 434.a) feladat megoldásánál). Ebből az összefüggésből

\begin{matrix} sin α (1 + \frac{sin β}{sin α} + \frac{sin γ}{sin α}) = 4 \cdot cos \frac{α}{2} \cdot cos \frac{β}{2} \cdot cos \frac{γ}{2}, \end{matrix}

amiből már látszik, hogy

sin α

racionális, hiszen a bal oldalon a zárójelben szereplő törtek a szinusztétel szerint racionális számok, a jobb oldalon lévő félszögek koszinusza pedig az első megoldásban látottak alapján racionális. Így

t = \frac{b \cdot c \cdot sin α}{2}

is racionális.

Markót Mihály (Szeged, Radnóti M. Gimn., III. o. t.) megoldása alapján

Megjegyzések: 1. Felmerülhet a kérdés, hogy létezik-e a feladat feltételeinek megfelelő háromszög. Erre szükséges és elegendő feltételt találunk A Matematika Tanítása c. folyóirat 1981. évi 1. számában, dr. Kelemen József cikkében.
Példaként oldalaival megadunk egy olyan háromszöget, amelynek szögfelezőszakaszai is racionálisak:

a = 231, b = 250, c = 289.

2. Mindkét megoldásból kiderül, hogy a feladatban szereplő háromszög bármelyik szögének vagy félszögének szinusza és koszinusza racionális.