A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Tekintsük az 1. ábra szerint a dodekaéder tengelyét, és használjuk az ábra további jelöléseit.
1. ábra Mozgassuk a ponton átmenő -re merőleges síkot -tól -ig. Mivel a dodekaéder körül -kal elforgatva önmagába megy át, -nek lesz egy olyan helyzete, amikor és illeszkedik rá. Eddig a helyzetig a síkmetszet háromszög. Az síkot tovább mozgatva ‐ egy az előbbivel analóg helyzetig ‐ hatszög metszeteket kapunk. Nézzük először azt az esetet, amikor az , illetve éleket egy-egy belső pontjukban metszi. Legyen a metszet két szomszédos éle és . Mivel a dodekaéder -kal elforgatva önmagába megy át, ez a metszet pontosan akkor szabályos, ha . A 2. ábrán -et és -t ugyanazon az ötszöglapon tüntettük fel.
2. ábra Ismeretes, hogy az oldalú szabályos ötszög átlója Ha az arányt -val jelöljük, Másfelől a trapézból amiből A feltételből és ekkor Ha az sík átmegy az ponton, a metszet nem szabályos. Tovább mozgatva -et, az -vel párhuzamos oldal csökken, pedig nő. Pontosan akkor lesz ha a metsző sík illeszkedik a dodekaéder középpontjára, -ra. Ekkor a dodekaéder középpontos szimmetriája miatt átmegy az éppen metszett élek felezőpontján. A hatszög oldalát ekkor pl. az trapéz középvonalaként számíthatjuk ki:
| |
Az síkot tovább mozgatva, az első esethez hasonlóan újra szabályos hatszög metszetet találunk. Ezért 3 olyan sík van, amely -re merőleges, és a dodekaédert szabályos hatszögben metszi. Bármelyik ilyen síkhoz egyértelműen tartozik a tengely. Mivel a dodekaéder 20 csúcsa 10 tengelyt határoz meg, a keresett síkok száma 30.
Megyesi Zoltán (Szeged, Ságvári E. Gyak. Gimn. III. o. t.) dolgozata alapján
|
|