Kezdőlap


Feladat:	F.2949	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bánky Boróka , Csörnyei Marianna , Futó Gábor , Horváth Gábor , Megyesi Zoltán , Pete Gábor
Füzet:	1993/december, 505 - 506. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szabályos testek, Térelemek és részeik, Szabályos sokszögek geometriája, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1993/február: F.2949

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tekintsük az 1. ábra szerint a dodekaéder $H L$ tengelyét, és használjuk az ábra további jelöléseit.

1. ábra

Mozgassuk a

H

ponton átmenő

H L

-re merőleges

S

síkot

H

-tól

L

-ig. Mivel a dodekaéder

H L

körül

120^{\circ}

-kal elforgatva önmagába megy át,

S

-nek lesz egy olyan helyzete, amikor

E, F

és

G

illeszkedik rá. Eddig a helyzetig a síkmetszet háromszög. Az

S

síkot tovább mozgatva ‐ egy az előbbivel analóg helyzetig ‐ hatszög metszeteket kapunk. Nézzük először azt az esetet, amikor

S

E A

, illetve

E D

éleket egy-egy belső pontjukban metszi. Legyen a metszet két szomszédos éle

c_{1}

és

c_{2}

. Mivel a dodekaéder

120^{\circ}

-kal elforgatva önmagába megy át, ez a metszet pontosan akkor szabályos, ha

c_{1} = c_{2}

. A 2. ábrán

c_{1}

-et és

c_{2}

-t ugyanazon az ötszöglapon tüntettük fel.

2. ábra

Ismeretes, hogy az

a

oldalú szabályos ötszög átlója

\frac{a}{2} (1 + \sqrt[]{5}) .

Ha az

\frac{E D'}{E D}

arányt

k

-val jelöljük,

c_{1} = k \cdot \frac{a}{2} (1 + \sqrt[]{5}) .

Másfelől a

B C D E

trapézból

B E - c_{2} = k (B E - a),

amiből

c_{2} = \frac{a}{2} (1 + \sqrt[]{5}) - k \cdot \frac{a}{2} (- 1 + \sqrt[]{5}) .

c_{1} = c_{2}

feltételből

k = \frac{5 + \sqrt[]{5}}{10},

és ekkor

c_{1} = c_{2} = \frac{a}{10} (5 + 3 \sqrt[]{5}) .

Ha az

S

sík átmegy az

A

ponton, a metszet nem szabályos. Tovább mozgatva

S

-et, az

A D

-vel párhuzamos

b_{1}

oldal csökken,

b_{2}

pedig nő. Pontosan akkor lesz

b_{1} = b_{2},

ha a metsző sík illeszkedik a dodekaéder középpontjára,

O

-ra. Ekkor a dodekaéder középpontos szimmetriája miatt

S

átmegy az éppen metszett élek felezőpontján. A hatszög oldalát ekkor pl. az

A B C D

trapéz középvonalaként számíthatjuk ki:

\begin{matrix} b_{1} = b_{2} = \frac{1}{2} (a + \frac{a}{2} (1 + \sqrt[]{5})) = \frac{a}{4} (3 + \sqrt[]{5}) . \end{matrix}

S

síkot tovább mozgatva, az első esethez hasonlóan újra szabályos hatszög metszetet találunk. Ezért 3 olyan sík van, amely

H L

-re merőleges, és a dodekaédert szabályos hatszögben metszi. Bármelyik ilyen síkhoz egyértelműen tartozik a

H L

tengely. Mivel a dodekaéder 20 csúcsa 10 tengelyt határoz meg, a keresett síkok száma 30.

Megyesi Zoltán (Szeged, Ságvári E. Gyak. Gimn. III. o. t.)
dolgozata alapján