|
Feladat: |
F.2943 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Bánky Boróka , Csergőffy Tibor , Csorba Péter , Csörnyei Marianna , Dienes Péter , Dőtsch András , Futó Gábor , Horváth Gábor , Kucsera Henrik , Markót Mihály , Maróti Gábor , Németh Ákos , Péter Gábor , Tichler Krisztián , Zsenei András |
Füzet: |
1993/október,
310 - 311. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Vetítések, Terület, felszín, Tetraéderek, Vektorok skaláris szorzata, Vektorok vektoriális szorzata, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1993/január: F.2943 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Legyen az illetve élben találkozó lapok szöge derékszög. Az ábrán feltüntettük ezeknek a lapoknak az illetve oldalakhoz tartozó magasságait. Vegyünk fel egy -re merőleges síkot, és vetítsük erre merőlegesen a tetraédert. A vetületet az ábrán láthatjuk.
Az lap vetülete egy , az lap vetülete pedig egy hosszúságú szakasz, amelyek a feltétel szerint derékszöget zárnak be. Ezért
Az síkra való merőleges vetítésben vetítősíkja párhuzamos -vel. Ebben a vetítősíkban van a négyszög. Legyen ezen a síkon merőleges vetülete . Az kitérő egyenesek hajlásszöge ezen a síkon eredeti nagyságában látszik, amiért . Ennek alapján (1)-ből . Mindkét oldalt -gyel szorozva:
Ugyanezzel a gondolatmenettel megmutathatjuk, hogy
A (2) és (3) összefüggésekből következik a feladat állítása.
Dőtsch András (Szeged, Ságvári E. Gyak. Gimn. III. o. t.)
II. megoldás. Jelöljük pl. az lap területét -vel, a hosszúságú és síkjára merőleges (kifelé irányított) vektort -vel. Ismert tétel, hogy egy poliéder kifelé irányított lap-területvektorainak összege zérusvektor. (Lásd pl. Hajós György: Bevezetés a geometriába c. könyvének 322. oldalán.) A feladat feltételei szerint és , valamint és merőlegesek, ezért a skaláris szorzatuk nulla:
Az említett tétel szerint , azaz , amiből . A négyzetre emelést elvégezve és (4)-et fölhasználva:
|
|