Kezdőlap


Feladat:	F.2942	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bettesch Gábor , Biszki Bálint [1992-1994] , Csorba Péter , Csörnyei Marianna , Dávid Tamás , Dienes Péter , Diószeghy Zoltán , Dőtsch András , Futó Gábor , Gabányi Balázs , Gerőffy Tibor , György András , Horváth Gábor , Imreh Csanád , K. L. , Kasza Tamás , Kóczy László , Koleszár Anett , Markót Mihály , Maróti Attila , Mosonyi Milán , Németh Ákos , Pete Gábor , Szeredi Tibor , Szőllősi Attila , Tichler Krisztián
Füzet:	1993/október, 308 - 310. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Húrnégyszögek, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Síkgeometriai bizonyítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1993/január: F.2942

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Nyilván elegendő az első állítást igazolni. Jelöljük az $A$ csúcsból a $β$ szög felezőjére bocsátott merőleges talpontját $T$ -vel, a beírt kör középpontját pedig $O$ -val. Használjuk az ábrák további jelöléseit is. A Thalész tétel szerint $O F C E$ és $O A F T$ (vagy a 2. ábrán $O A T F$ ) húrnégyszög. Nyilvánvaló, hogy $T$ a háromszög külső-, belső- vagy határpontja egyaránt lehet. Ezért három esetet különböztetünk meg.

1. ábra

Legyen először

T

belső pont. Ez akkor következik be, ha

A B < B C

(1. ábra). Az

O F C E

húrnégyszögből

\begin{matrix} O F E ∢ = O C E ∢ = \frac{γ}{2} . & (1) \end{matrix}

A O T ∢ az A B O ▵

külső szöge, ezért

A O T ∢ = \frac{α}{2} + \frac{β}{2},

és így

\begin{matrix} O A T ∢ = 90^{\circ} - A O T ∢ = 90^{\circ} - \frac{α + β}{2} = \frac{γ}{2} . & (2) \end{matrix}

O A F T

húrnégyszögből és (2)-ből

\begin{matrix} O F T ∢ = O A T ∢ = \frac{γ}{2}, & (3) \end{matrix}

ezért (1) és (3) alapján

O F E ∢ = O F T ∢

, és ekkor

E

F

T

egy egyenesen vannak.

T

illeszkedik

A C -re

‐ ekkor

A B = B C

‐ így

T

egybeesik

F -fel,

tehát

E

F

és

T

egy egyenesen lesz.

2. ábra

Végül legyen

T

külső pont. Ez esetben

A B > B C

(2. ábra). Az

O A T F

húrnégyszögből

O F T ∢ = 180^{\circ} - O A T ∢ = 180^{\circ} - \frac{γ}{2},

hiszen az

O A T ∢

most is

\frac{γ}{2} .

Mivel (1) is érvényes, azért

O F E ∢ = \frac{γ}{2} .

E két megállapításunkból:

\begin{matrix} E F T ∢ = E F O ∢ + O F T ∢ = \frac{γ}{2} + 180^{\circ} - \frac{γ}{2} = 180^{\circ} . \end{matrix}

Markót Mihály (Szeged, Radnóti M. Gimn., II. o. t.)

Megjegyzés. Akiknek a megoldása hiányos, nem gondoltak arra, hogy a merőlegesek talppontjai a háromszög belsejébe is eshetnek.