|
Feladat: |
F.2942 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Bettesch Gábor , Biszki Bálint [1992-1994] , Csorba Péter , Csörnyei Marianna , Dávid Tamás , Dienes Péter , Diószeghy Zoltán , Dőtsch András , Futó Gábor , Gabányi Balázs , Gerőffy Tibor , György András , Horváth Gábor , Imreh Csanád , K. L. , Kasza Tamás , Kóczy László , Koleszár Anett , Markót Mihály , Maróti Attila , Mosonyi Milán , Németh Ákos , Pete Gábor , Szeredi Tibor , Szőllősi Attila , Tichler Krisztián |
Füzet: |
1993/október,
308 - 310. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Húrnégyszögek, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Síkgeometriai bizonyítások, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1993/január: F.2942 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Nyilván elegendő az első állítást igazolni. Jelöljük az csúcsból a szög felezőjére bocsátott merőleges talpontját -vel, a beírt kör középpontját pedig -val. Használjuk az ábrák további jelöléseit is. A Thalész tétel szerint és (vagy a 2. ábrán ) húrnégyszög. Nyilvánvaló, hogy a háromszög külső-, belső- vagy határpontja egyaránt lehet. Ezért három esetet különböztetünk meg.
1. ábra Legyen először belső pont. Ez akkor következik be, ha (1. ábra). Az húrnégyszögből
Az külső szöge, ezért és így
Az húrnégyszögből és (2)-ből
ezért (1) és (3) alapján , és ekkor , , egy egyenesen vannak. Ha illeszkedik ‐ ekkor ‐ így egybeesik tehát , és egy egyenesen lesz.
2. ábra Végül legyen külső pont. Ez esetben (2. ábra). Az húrnégyszögből hiszen az most is Mivel (1) is érvényes, azért E két megállapításunkból:
| |
Markót Mihály (Szeged, Radnóti M. Gimn., II. o. t.)
Megjegyzés. Akiknek a megoldása hiányos, nem gondoltak arra, hogy a merőlegesek talppontjai a háromszög belsejébe is eshetnek.
|
|