Kezdőlap


Feladat:	F.2938	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csörnyei Marianna , Dőtsch András , Futó Gábor , Marx Gábor , Pete Gábor , Szeredi Tibor
Füzet:	1993/október, 305 - 306. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometrikus egyenlőtlenségek, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Jensen-féle egyenlőtlenség, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1993/január: F.2938

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Mivel $z = - (x + y), ezért$

\begin{matrix} sin z = - sin (x + y) = - 2 sin \frac{x + y}{2} cos \frac{x + y}{2} . \end{matrix}

Másrészt az ismert azonosság szerint

\begin{matrix} sin x + sin y = 2 sin \frac{x + y}{2} cos \frac{x - y}{2} . \end{matrix}

Ezeket felhasználva:

\begin{matrix} sin x + sin y + sin z & \leq | sin x + sin y | + | sin z | = \\ = 2 | sin \frac{x + y}{2} | \cdot | cos \frac{x - y}{2} | + 2 | sin \frac{x + y}{2} | \cdot | cos \frac{x + y}{2} | \leq \\ \leq 2 | sin \frac{x + y}{2} | (1 + | cos \frac{x + y}{2} |) . \end{matrix}

Az utóbbi szorzatot jelöljük

A

-val. Felhasználva a

\begin{matrix} sin^{2} t = 1 - cos^{2} t = (1 - | cos t |) (1 + | cos t |) \end{matrix}

azonosságot, valamint a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenséget:

\begin{matrix} \frac{3}{4} A^{2} & = 3 sin^{2} \frac{x + y}{2} {(1 + | cos \frac{x + y}{2} |)}^{2} = \\ = (3 - 3 | cos \frac{x + y}{2} |) \cdot {(1 + | cos \frac{x + y}{2} |)}^{3} \leq \\ \leq (\frac{(3 - 3 | cos \frac{x + y}{2} |) + 3 \cdot (1 + | cos \frac{x + y}{2} |)}{4})^{4} = {(\frac{3}{2})}^{4} = \frac{81}{16}; \end{matrix}

ebből

A^{2} \leq \frac{27}{4}

és

A \leq \frac{3 \sqrt[]{3}}{2} .

II. megoldás. Válasszuk meg az

u, v, w

számokat úgy, hogy azok a

[0,2 π)

intervallumba essenek, és

u - x, v - y, w - z

2 π

többszörösei legyenek.
Ekkor, mivel a szinusz-függvény

2 π

szerint periodikus,

sin x = sin u

sin y = sin v

és

sin z = sin w

. Másrészt

u + v + w = (u - x) + (v - y) + (w - z)

, tehát

u + v + w

2 π

többszöröse.
Ha

sin u

sin v

sin w

közül valamelyik nem pozitív, akkor az összegük legfeljebb 2. Mivel pedig

2 < \frac{3 \sqrt[]{3}}{2}

, az állítás teljesül.
Feltehetjük tehát, hogy

sin u, sin v, sin w

mindegyike pozitív; ez azt jelenti, hogy

u, v, w

mindegyike a

(0, π)

intervallumba esik. Ebben az esetben azonban

0 < u + v + w < 3 π

. A

2 π

egyetlen ilyen többszöröse ő maga, tehát

u + v + w = 2 π

.
Mivel a szinusz-függvény a

(0, π)

intervallumban szigorúan konkáv, a Jensen-egyenlőtlenség szerint

\begin{matrix} \frac{sin u + sin v + sin w}{3} \leq sin \frac{u + v + w}{3} = sin \frac{2 π}{3} = \frac{\sqrt[]{3}}{2} . \end{matrix}

Megjegyzés. Egyenlőség akkor áll fenn, ha

x = \frac{2 π}{3} + 2 k π

y = \frac{2 π}{3} + 2 l π

és

z = \frac{2 π}{3} - 2 (k + l + 1) π,

ahol

k, l

egész számok. Ez mindkét megoldásból leolvasható.