A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Mivel
| | Másrészt az ismert azonosság szerint
| | Ezeket felhasználva:
Az utóbbi szorzatot jelöljük -val. Felhasználva a
| | azonosságot, valamint a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenséget:
ebből és
II. megoldás. Válasszuk meg az számokat úgy, hogy azok a intervallumba essenek, és a többszörösei legyenek. Ekkor, mivel a szinusz-függvény szerint periodikus, , és . Másrészt , tehát a többszöröse. Ha , , közül valamelyik nem pozitív, akkor az összegük legfeljebb 2. Mivel pedig , az állítás teljesül. Feltehetjük tehát, hogy mindegyike pozitív; ez azt jelenti, hogy mindegyike a intervallumba esik. Ebben az esetben azonban . A egyetlen ilyen többszöröse ő maga, tehát . Mivel a szinusz-függvény a intervallumban szigorúan konkáv, a Jensen-egyenlőtlenség szerint | |
Megjegyzés. Egyenlőség akkor áll fenn, ha , és ahol egész számok. Ez mindkét megoldásból leolvasható.
|