A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Trapéz rombuszba írásán azt értjük, hogy a trapéz csúcsai a rombusz határán vannak. Ha a rombusz négyzet, akkor egyetlen maximális területű szimmetrikus trapéz írható bele, önmaga.
1. ábra Az 1. ábrán a rombuszba beírt szimmetrikus trapézt rajzoltunk meg, , és tükröztük a trapézt a rombusz középpontjára. Ha , illetve felezőpontja , illetve , akkor , továbbá egy egyenesen vannak, és Tekintsük az trapéz középvonalát. Ennek felezőpontja illeszkedik a egyenesre, és a pont felezi az szakaszt is. Hasonlót mondhatunk az trapéz középvonalának felezőpontjáról. Könnyen beláthatjuk, hogy továbbá párhuzamos -fel, és így (1) szerint és . Ezért olyan téglalap, amelynek középpontja . Azt is láthatjuk, hogy e téglalap és a trapéz magassága egyenlő, , ezért (2) miatt a területük is megegyezik. Nézzük meg ezután, hogyan szerkeszthető adott rombuszba téglalap. Mivel a rombusz és a téglalap középpontja megegyezik, ezért a téglalap csúcsai -tól egyenlő távolságra vannak, így illeszkednek egy középpontú körre. A 2. ábrán láthatjuk, hogyan szerkeszthetők ilyen téglalapok.
2. ábra Az ábra téglalapjánál az átló nagyobb, mint a rombusz kisebbik átlója, a többi esetben legfeljebb akkora. Az előbbinél mindegyik rombuszoldalon egy-egy téglalap csúcs lesz, és ekkor e téglalap valamelyik két oldalával párhuzamos alapokkal rendelkező beírt szimmetrikus trapéz szimmetriatengelye az egyik rombuszátló.
3. ábra A 3. ábra jelöléseit használva számítsuk ki a beírt trapéz oldalai által levágott háromszögek területeinek összegét:
. Ha minimális, akkor a beírt trapéz területe maximális lesz. Ez pontosan akkor következik be, ha . Ez azt jelenti, hogy végtelen sok ilyen típusú trapéz van, ezek területe a rombusz területének a fele.
4. ábra A 2. ábra további téglalapjai olyanok, hogy két szemközti oldaluk a rombusz két szemközti oldalára illeszkedik. Ilyen esetet rajzoltunk meg a 4. ábrán, ahol a rombusz hegyesszöge -nál nagyobb. Az ilyen típusúak között maximális területű téglalap oldalait szaggatott vonallal rajzoltuk meg, vele egyenlő területű a beírt szimmetrikus trapéz, és ez a terület most nagyobb, mint a rombusz területének a fele. (Ha a rombusz hegyesszöge legfeljebb , akkor ez a terület legfeljebb a rombusz területének a fele.) Olyan trapéz, mint a , négy van, hiszen a trapéz hosszabbik alapja a rombusz bármelyik oldalával egybeeshet, és két, velük egyenlő területű beírt téglalap létezik. A 4. ábra szerinti rombuszba tehát maximális területű szimmetrikus trapéz írható. Összefoglalva: Ha , akkor a rombuszba végtelen sok maximális területű szimmetrikus trapéz írható, és a maximális terület a rombusz területének a fele. Ha , akkor 6 maximális területű beírt szimmetrikus trapéz lesz (ezek területe nagyobb a rombusz félterületénél), végül ha a rombusz négyzet, akkor csak egy (saját maga).
Megjegyzés. A beírást általánosabban is értelmezhettük volna, éspedig úgy, hogy a trapéz minden csúcsa a rombusznak határpontja vagy belső pontja legyen. A feladat kérdésére adandó válasz azonban ekkor is ugyanaz lesz. |
|