Kezdőlap


Feladat:	F.2932	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Csörnyei Marianna , K. L.
Füzet:	1993/október, 302 - 303. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Trigonometrikus függvények, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1992/december: F.2932

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Először $f$ -et egyszerűbb alakba írjuk át az
$a^{3} + b^{3} = {(a + b)}^{3} - 3 a b (a + b)$ , a $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ és a $sin 2 x = 2 sin x cos x$ azonosságok felhasználásával:

\begin{matrix} f (x) & = \frac{4 - 3 (sin^{6} x + cos^{6} x)}{sin x cos x} = \\ = \frac{4 - 3 ({(sin^{2} x + cos^{2} x)}^{3} - 3 sin^{2} x cos^{2} x (sin^{2} x + cos^{2} x))}{sin x cos x} = \\ = \frac{4 - 3 (1 - 3 sin^{2} x cos^{2} x)}{sin x cos x} = \frac{1 + 9 {(sin x cos x)}^{2}}{sin x cos x} = \frac{2}{sin 2 x} + \frac{9}{2} sin 2 x . \end{matrix}

Legyen

y = sin 2 x .

Mivel

2 x

(0, π)

intervallum tetszőleges pontja lehet, és ebben az intervallumban a szinusz-függvény értékkészlete a

(0,1]

intervallum, a keresett halmaz a

\begin{matrix} g (y) = \frac{2}{y} + \frac{9}{2} y \end{matrix}

függvény értékkészlete a

(0,1]

halmazon.
A számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség alapján

\begin{matrix} g (y) = \frac{\frac{4}{y} + 9 y}{2} ⩾ \sqrt[]{\frac{4}{y} \cdot 9 y} = \sqrt[]{36} = 6. \end{matrix}

y = \frac{2}{3},

akkor egyenlőség áll fenn.
Az értékkészlet tehát része a

[6, \infty)

intervallumnak és tartalmazza a

6

-ot. Azt kell még megmutatni, hogy ha

c > 6,

akkor

g

felveszi

c

-t a

(0,1]

intervallumban, azaz a

\begin{matrix} \frac{2}{y} + \frac{9}{2} y = c \end{matrix}

egyenletnek van megoldása

(0,1]

-ben.
Az egyenletet átalakítva:

\begin{matrix} \frac{9}{2} y^{2} - c y + 2 = 0. \end{matrix}

(1)

Ennek a diszkriminánsa

c^{2} - 36 > 0,

tehát két valós gyök van. A gyökök szorzata

\frac{4}{9}

; ebből következik, hogy a két gyök azonos előjelű, és nem lehet mindkettő

\frac{2}{3}

-nál nagyobb abszolút értékű.
Mivel a gyökök összege

\frac{2 c}{9}

pozitív, mindkét gyök pozitív.
Az (1) egyenletnek tehát két pozitív megoldása van; ezek közül a kisebbik legfeljebb

\frac{2}{3}

. A

g

függvény ezek szerint felveszi

c

-t a

(0, \frac{2}{3}]

intervallumban.
Tehát az

f

függvény értékkészlete a

(0, \frac{π}{2})

intervallumban a

[6, \infty)

félegyenes.

Megjegyzés. Azt, hogy

g

felveszi

c

-t a

(0,1]

intervallumban, a Bolzano-tétel segítségével is igazolhatjuk. Mivel

{lim}_{y \to 0 + 0}^{} g (y) = + \infty

, a

g

függvény felvesz

c

-nél nagyobb értékeket, és

g (\frac{2}{3}) = 6 < c

szerint

c

-nél kisebb értékeket is. A

g

folytonos, tehát a Bolzano-tétel szerint

(0 és \frac{2}{3} közötti helyen) c

-t is fel kell vennie.