|
Feladat: |
F.2928 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Csörnyei Marianna , Dőtsch András , Horváth Gábor , Imreh Csanád , K. L. , Kálmán Tamás , Tichler Krisztián |
Füzet: |
1993/október,
300 - 302. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Egyenlőtlenségek, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Nevezetes egyenlőtlenségek, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1992/november: F.2928 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Először az esetben bizonyítjuk be az állítást. Becsüljük felülről a bal oldali törtek egyikét a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség felhasználásával:
Mivel ez mind az tagra igaz, | | Nyilván elég megmutatni, hogy Beszorozva -nel és rendezve: Mivel , a jobb oldal legalább . Ezzel az állítást -re beláttuk. Egyenlőség ilyenkor nem állhat fenn. Most az esettel foglalkozunk. Az olvashatóság kedvéért legyen , , . A bizonyítandó egyenlőtlenség: Figyelembe véve, hogy | | rendezzük át (1)-et a következőképpen: | |
Írjuk fel a számtani és a harmonikus közép közti egyenlőtlenséget az , , számokra: | | Elég emiatt azt bizonyítani, hogy Mivel az egyenlőtlenség szimmetrikus -re, feltehetjük, hogy közül az (egyik) legkisebb; ekkor . Írjuk helyére -t és rendezzük az egyenlőtlenséget a következőképpen: | | | | (2) |
Tekintsük most a polinomot. Mivel a polinom főegyütthatója pozitív: Ha megmutatjuk, hogy a diszkrimináns nem pozitív; abból következik, hogy a polinom helyettesítési értékei nem lehetnek negatívak, ami esetén éppen a egyenlőtlenség. A diszkrimináns: | | Mivel , azért , tehát . Ezzel az állítást n = 3-ra is igazoltuk. Az egyenlőséghez szükséges például, hogy az , , számokra felírt számtani és harmonikus közép is egyenlő legyen; ez pedig csak esetén teljesül. Ha akkor valóban egyenlőség áll fenn: | |
Kassai Lóránt (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn. III. o. t.) |
|