Kezdőlap


Feladat:	F.2922	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Csörnyei Marianna , Futó Gábor
Füzet:	1993/április, 157 - 159. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Abszolútértékes egyenlőtlenségek, Trigonometrikus egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1992/október: F.2922

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tetszőleges $y$ valós számra jelölje $| | y | |$ az $y$ távolságát a hozzá legközelebbi páratlan egész számtól; ez az érték mindig $0$ és $1$ közé esik.
Először megmutatjuk, hogy tetszőleges $y$ valós számra

\begin{matrix} | sin \frac{π}{2} y | \leq 1 - | | y | |^{2} . \end{matrix}

(1)

Legyen az

y

-hoz legközelebbi páratlan szám

2 k + 1

. Ekkor

y = 2 k + 1 \pm | | y | |

és a

cos 2 x = 1 - 2 sin^{2} x

azonosság alapján

\begin{matrix} | sin \frac{π}{2} y | = | sin ((2 k + 1) \frac{π}{2} \pm \frac{π}{2} | | y | |) | = cos \frac{π}{2} | | y | | = 1 - 2 sin^{2} \frac{π}{4} | | y | | . \end{matrix}

[0,1]

intervallumban az

x \mapsto sin \frac{π}{4} x

függvény konkáv, ezért grafikonja a

(0,0)

(1, \frac{\sqrt[]{2}}{2})

végpontokat összekötő húr fölött van; így ebben az intervallumban

sin \frac{π}{4} x \geq \frac{\sqrt[]{2}}{2} x

. Ezt (2)-be írva kapjuk, hogy

\begin{matrix} 1 - 2 sin^{2} \frac{π}{4} | | y | | \leq 1 - 2 \cdot {(\frac{\sqrt[]{2}}{2} | | y | |)}^{2} = 1 - | | y | |^{2} . \end{matrix}

Másodszor azt bizonyítjuk be, hogy tetszőleges

y

valós számra

\begin{matrix} max (| | y | |, | | \sqrt[]{2} y | |) \geq \frac{1}{(4 + 2 \sqrt[]{2}) | y | + 3} \end{matrix}

(3)

(ahol

max (| | b | |, | | \sqrt[]{2} y | |)

a két szám közül a nagyobbat jelöli).
Legyen

α = {max}_{}^{} (| | y | |, | | \sqrt[]{2} y | |)

; az

y

-hoz, illetve

\sqrt[]{2} y

-hoz legközelebbi páratlan szám

p

, illetve

q

; továbbá

ε = y - p

és

δ = \sqrt[]{2} y - q

; ekkor

| ε | = | | y | | \leq α

és

| δ | = | | \sqrt[]{2} y | | \leq α

. Az

ε

és

δ

definíciója alapján

\begin{matrix} y = p + ε és \sqrt[]{2} y = q + δ . \end{matrix}

Emeljük ezeket négyzetre, majd az első kétszereséből vonjuk ki a másodikat:

\begin{matrix} 0 = 2 {(p + ε)}^{2} - {(q + δ)}^{2} = 2 (p^{2} + 2 p ε + ε^{2}) - (q^{2} + 2 q δ + δ^{2}) . \end{matrix}

Rendezzük át a következőképpen:

\begin{matrix} q^{2} - 2 p^{2} = 4 p ε + 2 ε^{2} - 2 q δ - δ^{2} = 4 y ε - 2 ε^{2} - 2 \sqrt[]{2} y δ + δ^{2} . \end{matrix}

A bal oldalon egy páratlan egész szám áll (mivel

q

páratlan); figyelembe véve ezt, és hogy

ε^{2} \leq | ε | \leq α

δ^{2} \leq | δ | \leq α

, elvégezhetjük a következő becslést:

\begin{matrix} 1 \leq | q^{2} - 2 p^{2} | = | 4 y ε - 2 ε^{2} - 2 \sqrt[]{2} y δ + δ^{2} | \leq | 4 y ε | + 2 ε^{2} + | 2 \sqrt[]{2} y δ | + δ^{2} \leq \\ \leq 4 α | y | + 2 α + 2 \sqrt[]{2} α | y | + α = α ((4 + 2 \sqrt[]{2}) | y | + 3) . \end{matrix}

Ebből pedig (3) azonnal következik.
Az (1) és (3) becslések alapján nem nehéz bebizonyítani az állítást. Legyen

x = \frac{π}{2} y

, azaz

y = \frac{2}{π} x

. Ekkor

\begin{matrix} | sin x + sin \sqrt[]{2} x | \leq | sin x | + | sin \sqrt[]{2} x | = | sin \frac{π}{2} y | + | sin \frac{π}{2} \sqrt[]{2} y | \leq \\ \leq (1 - | | y | |^{2}) + (1 - | | \sqrt[]{2} y | |^{2}) \leq 2 - {(max (| | y | |, | | \sqrt[]{2} y | |))}^{2} \leq \\ \leq 2 - \frac{1}{{((4 + 2 \sqrt[]{2}) | y | + 3)}^{2}} < 2 - \frac{1}{{(7 | y | + 3)}^{2}} . \end{matrix}

Mivel

{(7 | y | + 3)}^{2} = 98 y^{2} + 18 - {(7 | y | - 3)}^{2} \leq 98 y^{2} + 18

, ebből következik, hogy

\begin{matrix} | sin x + sin \sqrt[]{2} x | \leq 2 - \frac{1}{98 y^{2} + 18} = 2 - \frac{1}{98 {(\frac{2}{π} x)}^{2} + 18} = \\ 2 - \frac{1}{\frac{392}{π^{2}} x^{2} + 18} < 2 - \frac{1}{40 x^{2} + 18} < 2 - \frac{1}{100 (x^{2} + 1)} . \end{matrix}

Ezzel a bizonyítást befejeztük.

Futó Gábor (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., III. o. t.) dolgozata nyomán

Megjegyzések. 1. A nevezőben a

100

-as együtthatót kisebbre (pl.

40

-re) is ki lehet cserélni. A legnagyobb érték, amellyel az állítás nem igaz, körülbelül

7, 8813

. Ennél a kritikus értéknél már egyenlőség is fennállhat.

2. Feltehetnénk a következő kérdést is: ha

c

pozitív szám, akkor igaz-e, hogy

\begin{matrix} | sin x + sin \sqrt[]{2} x | < 2 - \frac{c}{x^{2}} \end{matrix}

(4)

teljesül, ha

x

elég nagy, azaz létezik-e olyan

x_{0}

szám, hogy tetszőleges

x_{0}

-nál nagyobb

x

-re (4) teljesül?
A megoldáshoz hasonló, de pontosabb számolással be lehet látni, hogy ez

c > \frac{π^{4}}{768}

esetén igaz. Azt is be lehet bizonyítani, hogy

c \leq \frac{π^{4}}{768}

esetén pedig nem igaz, vagyis minden

x_{0}

számhoz van olyan

x > x_{0}

szám,
amelyre (4) nem teljesül.