Kezdőlap


Feladat:	F.2921	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bakcsi Gergely , Dőtsch András , Gábor Tamás , Maróti Attila , Pete Gábor
Füzet:	1993/április, 157. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Maradékos osztás, kongruenciák, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1992/október: F.2921

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megmutatjuk, hogy ez a szám a $11$ . A $11$ valóban ilyen alakú: $11 = 36^{1} - 5^{2}$ . Belátjuk, hogy a többi $36^{k} - 5^{l}$ alakú szám $11$ -nél nagyobb abszolút értékű.
Vizsgáljuk meg, milyen maradékot adhat egy $36^{k} - 5^{l}$ alakú szám $20$ -szal osztva!
A $36$ hatványai mindig $16$ -ot adnak maradékul: $36 \equiv 16 (mod 20)$ és ha $36^{n} \equiv 16 (mod 20)$ , akkor

\begin{matrix} 36^{n + 1} = 36 \cdot 36^{n} \equiv 36 \cdot 16 = 576 \equiv 16 (mod 20) . \end{matrix}

Hasonlóan látható be, hogy

5^{l}

mindig

5

-öt ad maradékul:

5^{l} \equiv (mod 20)

és ha

5^{n} \equiv (mod 20)

, akkor

5^{n + 1} = 5 \cdot 5^{n} \equiv 5 \cdot 5 = 25 \equiv 5 (mod 20)

. Ezzel azt kaptuk, hogy

36^{k} - 5^{l}

mindig

16 - 5 = 11

maradékot ad

20

-szal osztva.
A

20

-szal való maradékos osztáskor

11

maradékot adó számok közül a

- 9

kivételével valamennyi (a

11

-től különböző) szám

11

-nél nagyobb abszolút értékű.
Azonban

36^{k} - 5^{l}

soha nem lehet

- 9

, hiszen a

36^{k}

és a

9

osztható

3

-mal, az

5^{l}

viszont nem.
A legkisebb abszolút értékű

36^{k} - 5^{l}

alakú szám tehát a

11