|
Feladat: |
F.2911 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Csermely Zoltán , Futó Gábor , Horvai Péter , Kálmán Tamás , Párniczky Benedek , Pete Gábor |
Füzet: |
1993/február,
61 - 63. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Háromszögek hasonlósága, Simson-egyenes, Húrnégyszögek, Síkgeometriai szerkesztések, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1992/május: F.2911 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás: Tekintsük a feladatot megoldottnak. A megoldást a pont helyzete szerint négy részre bontjuk. 1. Legyen a konvex szögtartomány belső pontja. Húzzunk párhuzamost -n át a szög száraival. Legyenek a szárakon keletkező metszéspontok , illetve , , , és használjuk az 1. ábra további jelöléseit is. Az és hasonló háromszögekből | | vagy a jelöléssel .
1. ábra Ennek megoldása , amelyben ismert módon szerkeszthető, majd is. A szerkesztés ezután úgy történik, hogy -ból fölmérjük -et az szárra, így kapjuk -t, amelyet -vel összekötve adódik a szerkesztendő egyenes. A feladat megoldható, ha , és vagy megoldás van aszerint, hogy vagy .
2. ábra 2. Most nézzük azt az esetet, amikor a konvex szögtartomány valamelyik mellékszögének belső pontja. A 2. ábra alapján | |
vagy jelöléssel: ; csak lehetséges, ezért most egy megoldás van. 3. Ha a konvex szögtartomány határának egy -tól különböző pontja, akkor és valamelyikével egybeesik. Legyen pl. , ekkor és , így megszerkeszthető. A megoldhatóság feltétele , és ekkor egy megoldás lesz (3. ábra).
3. ábra 4. Ha a konvex szögtartomány csúcsszögének határán vagy annak belsejében van, nem lesz megoldás, hiszen akkor nincs olyan -n átmenő egyenes, amely a konvex szög mindkét szárát metszené.
Csermely Zoltán (Szeged, Radnóti M. Gimn.) és
Horvai Péter (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn.) dolgozata alapján
4. ábra II. megoldás: Tekintsük most is megoldottnak a feladatot. Használjuk a 4. ábra jelöléseit. Ezen az ábrán . Az és pontokban a szögszárakra állított merőlegesek metszéspontja , és nyilván , továbbá , így . Ezért az és derékszögű háromszögek egybevágók. Az egybevágóság következtében , az -ből az -re bocsátott merőleges talppontja felezi az szakaszt. Egyenlőek továbbá az ábra ívvel jelölt szögei. Ez utóbbi miatt az négyszög húrnégyszög, tehát az pont rajta van az háromszög körülírt körén. Mivel -ből az háromszög oldalaira bocsátott merőlegesek talppontjai egy egyenesen ‐ az ponthoz tartozó Simson egyenesen ‐ vannak, azért , és egy egyenesre esnek. A szerkesztést ezután a következőképpen végezhetjük: Kijelöljük a szög szárain az , pontokat, majd megszerkesztjük -et. A pontot az egyenesből Thalész-köre metszi ki, és a szerkesztendő egyenes. Attól függően, hogy Thalész-köre hány pontban metszi az szakaszt, a feladatnak , vagy megoldása lesz. |
|