Feladat: F.2907 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Csörnyei Marianna ,  Dőtsch András ,  Horváth Gábor ,  Molnár-Sáska Gábor 
Füzet: 1992/december, 442 - 443. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Fizikai jellegű feladatok, Térgeometriai bizonyítások, Vektorok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1992/április: F.2907

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek a síktükrök metszésvonalai egy derékszögű koordinátarendszer tengelyei, és egy, az első tükörre beeső fénysugárral egyező irányú vektor legyen f=a⋅i+b⋅j+c⋅k. Tegyük fel, hogy iésj az első tükör síkjában van. A visszaverődés törvénye szerint f, a beesési merőleges és a visszavert fénysugár egy síkban van, amely merőleges a tükör síkjára. Ezért az f vektornak az első tükör síkjára vonatkozó f' tükörképe egyirányú lesz az első visszavert fénysugárral. A tükörkép vektor első és második koordinátája ugyanaz, mint az f vektoré, a harmadik pedig f harmadik koordinátájának ellentettje. Ezért f'=a⋅i+b⋅j-c⋅k.
Ugyanígy beláthatjuk, hogy a második és harmadik tükörről való visszaverődés után i,illetvej együtthatója is az ellentettjére változik. Ezért a harmadik tükörről visszaverődő fénysugár a  -a⋅i-b⋅j-c⋅k vektorral egyirányú, ami valóban ellentétes irányú az első beeső fénysugárral.

 

Megjegyzések: 1. A feladat és megoldása megtalálható Skljarszkij ‐ Csencov ‐ Jaglom: Válogatott feladatok és tételek az elemi matematika köréből, Geometria I. (Planimetria) c. könyvében (57. feladat).
2. Néhány megoldónk bebizonyította, hogy három, páronként merőleges síkra vonatkozó tükrözés helyettesíthető a síkok közös pontjára vonatkozó tükrözéssel. Ebből is következik a feladat állítása.
3. Csörnyei Marianna megállapította, hogy ha a három sík nem merőleges egymásra, akkor is van olyan fénysugár irány, amelyik a három tükörről visszaverődve ellentétes irányú lesz, mint az első beeső fénysugár.