Kezdőlap


Feladat:	F.2904	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csörnyei Marianna , Párniczky Benedek , Pete Gábor
Füzet:	1992/december, 441 - 442. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Egyenlőtlenségek, Teljes indukció módszere, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1992/április: F.2904

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az állítást $n$ szerinti teljes indukcióval igazoljuk. Ha $n = 1,$ akkor az állítás igaz, és a bal oldalon egyenlőség áll:

\begin{matrix} \frac{1}{(x + 1) (x + 2 n)} \leq \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 2} < \frac{1}{(x + \frac{1}{2}) (x + \frac{5}{2})} = \frac{1}{(x + 1) (x + 2) - \frac{3}{4}} . \end{matrix}

Tegyük fel, hogy az állítás igaz

n = k

-ra. Ahhoz, hogy

n = k + 1

-re is igaz legyen elégséges, ha

\begin{matrix} \frac{k + 1}{(x + 1) (x + 2 (k + 1))} - \frac{k}{(x + 1) (x + 2 k)} < \frac{1}{x + 2 k + 1} - \frac{1}{x + 2 k + 2} < & (2) \\ < \frac{k + 1}{(x + \frac{1}{2}) (x + 2 (k + 1) + \frac{1}{2})} - \frac{k}{(x + \frac{1}{2}) (x + 2 k + \frac{1}{2})}, \end{matrix}

hiszen ennyivel változnak meg az (1)-ben szereplő mennyiségek.
(2)-ben először a bal oldali egyenlőtlenséget igazoljuk:

\begin{matrix} \frac{k + 1}{(x + 1) (x + 2 (k + 1))} - \frac{k}{(x + 1) (x + 2 k)} = \frac{(k + 1) (x + 2 k) - k (x + 2 k + 2)}{(x + 1) (x + 2 k) (x + 2 k + 2)} = \\ = \frac{x}{(x + 1) (x + 2 k) (x + 2 k + 2)} = \frac{x (x + 2 k + 1)}{(x + 1) (x + 2 k)} \cdot \frac{1}{(x + 2 k + 1) (x + 2 k + 2)} = \\ = \frac{x^{2} + (2 k + 1) x}{x^{2} + (2 k + 1) x + 2 k} \cdot (\frac{1}{x + 2 k + 1} - \frac{1}{x + 2 k + 2}) < \frac{1}{x + 2 k + 1} - \frac{1}{x + 2 k + 2} . \end{matrix}

A jobb oldali egyenlőtlenség:

\begin{matrix} \frac{k + 1}{(x + \frac{1}{2}) (x + 2 (k + 1) + \frac{1}{2})} - \frac{k}{(x + \frac{1}{2}) (x + 2 k + \frac{1}{2})} = \\ = \frac{(k + 1) (x + 2 k + \frac{1}{2}) - k (x + 2 k + \frac{5}{2})}{(x + \frac{1}{2}) (x + 2 k + \frac{1}{2}) (x + 2 k + \frac{5}{2})} = \\ = \frac{x + \frac{1}{2}}{(x + \frac{1}{2}) (x + 2 k + \frac{1}{2}) (x + 2 k + \frac{5}{2})} = \frac{1}{(x + 2 k + \frac{1}{2}) (x + 2 k + \frac{5}{2})} = \\ = \frac{1}{x^{2} + (4 k + 3) x + (4 k^{2} + 6 k + \frac{5}{4})} > \frac{1}{x^{2} + (4 k + 3) x + (4 k^{2} + 6 k + 2)} = \\ = \frac{1}{(x + 2 k + 1) (x + 2 k + 2)} = \frac{1}{x + 2 k + 1} - \frac{1}{x + 2 k + 2} . \end{matrix}

Ezzel az állítást igazoltuk.

Párniczky Benedek (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., II. o. t.) dolgozata alapján